Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây...

Question

Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left(x\right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left(x\right)=f\left(e^{x^{2} } +3\right)\) là

A. 6.

B. 5.

C. 4.

D. 3.

Answer 1

Chọn D

Do \(y=f\left(x\right)\) là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục

và có đạo hàm luôn xác định tại mọi điểm \(x\in {\rm R}.\)

Theo đồ thị hàm số ta có được

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=a\in \left(-\infty ;0\right)} \\ {x=b\in \left(0;4\right)} \\ {x=c\in \left(4;+\infty \right)} \end{array}\right. .\)

Mặt khác \(g'\left(x\right)=2x.e^{x^{2} } .f'\left(e^{x^{2} } +3\right).\)

Do đó \(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow 2x.e^{x^{2} } f'\left(e^{x^{2} } +3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {f'\left(e^{x^{2} } +3\right)=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {e^{x^{2} } +3=a\in \left(-\infty ;0\right)} \\ {e^{x^{2} } +3=b\in \left(0;4\right)} \\ {e^{x^{2} } +3=c\in \left(4;+\infty \right)} \end{array}\right. .\)

Xét hàm số \(h\left(x\right)=e^{x^{2} } +3.\)

Ta có \(h'\left(x\right)=2xe^{x^{2} } ; h'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0\).

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số \(y=h\left(x\right)\)

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình

\(e^{x^{2} } +3=a, e^{x^{2} } +3=b\) vô nghiệm;

còn hai đồ thị hàm số \(y=h\left(x\right)\) và y cắt nhau tại hai

điểm phân biệt có hoành độ khác 0 do đó

phương trình \(e^{x^{2} } +3=c\) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Vậy hàm số \(g\left(x\right)=f\left(e^{x^{2} } +3\right)\) có ba điểm cực trị.