Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Question

Cho hàm số bậc ba \(y=f\left(x\right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left(x\right)=f\left(\sin x-2\right)\) trong khoảng \(\left(0;2020\pi \right)\) là:

A. 4040.

B. 8080.

C. 8078.

D. 2020.

Answer 1

Chọn D

+ Do \(y=f\left(x\right)\) là hàm số bậc ba nên là hàm số

liên tục và có đạo hàm luôn xác trên tập \({\rm R}.\)

+ Hàm số \(g\left(x\right)=f\left(\sin x-2\right)\) là hàm tuần hoàn với chu kì 2\pi .

Nên ta xét hàm số \(g\left(x\right)=f\left(\sin x-2\right)\) trong một chu kì \((0;2\pi {\rm ]}.\)

+ Mặt khác \(g'\left(x\right)={\rm cos}x.f'\left(\sin x-2\right)\).

+ Đặt \(t=\sin x-2,\) do \(x\in (0;2\pi {\rm ]}\) nên \(t\in \left[-3;-1\right]\),

dựa vào đồ thị hàm f thì \(f'\left(t\right)>0,\forall t\in \left[-3;-1\right].\)

Hay \(f'\left(\sin x-2\right)>0,\forall x\in \left(0;2\pi \right]\)

nên \(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow {\rm cos}x=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=\frac{\pi }{2} } \\ {x=\frac{3\pi }{2} } \end{array}\right. .\)

+ Bảng xét dấu \(g'\left(x\right):\)

+ Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số \(y=g\left(x\right)\) 

có 2 điểm cực trị trong \((0;2\pi )\).

Vậy hàm số \(g\left(x\right)=f\left(\sin x-2\right)\)

trên khoảng \(\left(0;2020\pi \right)\) có 2020 điiểm cực trị.