Cho hàm số bậc bốn y=f(x). Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây...

Question

Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left(x\right)\). Hàm số \(y=f'\left(x\right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số \(y=f(-x^{2} +2x)\) là

A. 4.

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Answer 1

Chọn D

Xét hàm số \(y=f(-x^{2} +2x)\) có đạo hàm

\(y'=\left(-2x+2\right).f'\left(-x^{2} +2x\right)\)

Từ đồ thị hàm số \(y=f'\left(x\right)\) ta thấy:
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=1} \\ {x=-3} \\ {x=0} \end{array}\right. ;\) \(f'\left(x\right)>0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {0<x<1} \\ {x<-3} \end{array}\right. ;\)

\(f'\left(x\right)<0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x>1} \\ {-3<x<0} \end{array}\right.  \)
Vậy ta có:
\(f'\left(-x^{2} +2x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {-x^{2} +2x=1} \\ {-x^{2} +2x=-3} \\ {-x^{2} +2x=0} \end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=1} \\ {x=-1} \\ {x=3} \\ {x=0} \\ {x=2} \end{array}\right.  \)
\(f'\left(-x^{2} +2x\right)>0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {0<-x^{2} +2x<1} \\ {-x^{2} +2x<-3} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {0<x<1} \\ {1<x<2} \\ {x>3} \\ {x<-1} \end{array}\right.  \)
\(f'\left(-x^{2} +2x\right)<0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {-x^{2} +2x>1} \\ {-3<-x^{2} +2x<0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {2<x<3} \\ {-1<x<0} \end{array}\right. \) 
Xét bảng xét dấu của \(y'=\left(-2x+2\right).f'\left(-x^{2} +2x\right)\)

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.