Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên...

Question

Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left(x\right)\) có đồ thị như hình vẽ bên

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left(x\right)=f\left(2x^{3} -3x^{2} +1\right)\) là

A. 5.

B. 3.

C. 7.

D. 11.

Answer 1

Chọn C

Tập xác định của hàm số là \(D={\rm R}.\)

Ta có \(g'\left(x\right)=\left(6x^{2} -6x\right)f'\left(2x^{3} -3x^{2} +1\right);\)
\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {6x^{2} -6x=0} \\ {f'\left(2x^{3} -3x^{2} +1\right)=0} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=1} \\ {f'\left(2x^{3} -3x^{2} +1\right)=0} \end{array}\right. {\rm \; \; }\begin{array}{c} {} \\ {} \\ {\left(1\right)} \end{array}. \)
Mặt khác, từ đồ thị hàm số ta thấy

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=a\in \left(-1;0\right)} \\ {x=b\in \left(0;1\right)} \\ {x=2} \end{array}\right. .\)

Do đó \(\left(1\right)\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {2x^{3} -3x^{2} +1=a} \\ {2x^{3} -3x^{2} +1=b} \\ {2x^{3} -3x^{2} +1=2} \end{array}\right. {\rm \; \; \; \; }\begin{array}{c} {\left(2\right)} \\ {\left(3\right)} \\ {\left(4\right)} \end{array}.\)

Xét hàm số \(u=2x^{3} -3x^{2} +1, u'=6x^{2} -6x, u'=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=1} \end{array}\right. \).

Bảng biến thiên:

Từ đó ta có

Với \(a\in \left(-1;0\right)\), phương trình \(\left(2\right)\) có một nghiệm duy nhất \(x_{1} <0.\)

Phương trình \(\left(4\right)\) có một nghiệm duy nhất \(x_{2} >1\).

Với \(b\in \left(0;1\right)\), phương trình\( \left(3\right)\) có ba nghiệm lần lượt là

\(x_{3} \in \left(x_{1} ;0\right);x_{4} \in \left(0;1\right);x_{5} \in \left(1;x_{2} \right).\)

Vậy \(g'\left(x\right)=0\) có 7 nghiệm đơn nên hàm số có 7 điểm cực trị.