Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị như hình dưới....

Question

Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left(x\right)\) có đồ thị như hình dưới.

Số điểm cực trị của hàm số \(g(x)=f\left(-x^{3} +3x^{2} -2\right)\) là

A. 5.

B. 7.

C. 9.

D. 11.

Answer 1

Chọn D

+ Dựa vào đồ thị của \(y=f\left(x\right)\) ta thấy hàm số này

có 3 điểm cực trị thỏa mãn:
\(-2<x_{1} <-1<x_{2} <0<x_{3} <1. \)
+ \(g\left(x\right)=f\left(-x^{3} +3x^{2} -2\right)\Rightarrow g'(x)\)

\(=\left(-3x^{2} +6x\right)f'\left(-x^{3} +3x^{2} -2\right). \)
+ \(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left(-3x^{2} +6x\right)f'\left(-x^{3} +3x^{2} -2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=2} \\ {f'\left(-x^{3} +3x^{2} -2\right)=0} \end{array}\right. . \)
Ta có \(f'\left(-x^{3} +3x^{2} -2\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {-x^{3} +3x^{2} -2=x_{1} } \\ {-x^{3} +3x^{2} -2=x_{2} } \\ {-x^{3} +3x^{2} -2=x_{3} } \end{array}\right. .\)

Xét hàm số \(h(x)=-x^{3} +3x^{2} -2\) liên tục trên \({\rm R}\),

có đồ thị (C) như hình vẽ và các đường thẳng

\(y=x_{1} ; y=x_{2} ; y=x_{3}\) cắt (C) tại 9 điểm phận biệt khác 0 và 2.

+ Suy ra \(f'\left(-x^{3} +3x^{2} -2\right)=0\) có 9 nghiệm

đơn khác 0 và 2.

Vậy \(g'\left(x\right)=0\) có 11 nghiệm đơn hay hàm số \(g\left(x\right)\) 

có đúng 11 điểm cực trị.