Tìm tham số m để hàm số y=sin x+4/sin x+m nghịch biến trên khoảng (0;π/2)

Question

Tìm tham số m để hàm số \(y=\frac{\sin x+4}{\sin x+m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(0;\frac{\pi }{2} \right)\)

\( A. \left[-1;4\right]. \)

\(B. \left(-\infty ;-1\right)\cup \left[0;4\right). \)

\(C. \left[0;4\right). \)

\(D. \left(-\infty ;-1\right]\cup \left[0;4\right).\)

Answer 1

Chọn D

 Đặt \(t=\sin x,x\in \left(0;\frac{\pi }{2} \right)\) suy ra \(t\in \left(0;1\right)\)

 Hàm số trở thành \(y=\frac{t+4}{t+m} \Rightarrow y'_{x} =t'_{x} .y'_{t} =\cos x.\frac{m-4}{(t+m)^{2} } \)

 Ta có: \(x\in \left(0;\frac{\pi }{2} \right)\) suy ra \(\cos x>0\)

 Do đó: để hàm số nghịch biến trên khoảng

\(\left(0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow y_{x} <0,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow y_{t} <0,\forall t\in \left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{m-4}{(t+m)^{2} } <0,\forall t\in \left(0;1\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m-4<0} \\ {\left[\begin{array}{l} {-m\le 0} \\ {-m\ge 1} \end{array}\right. } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m<4} \\ {\left[\begin{array}{l} {m\ge 0} \\ {m\le -1} \end{array}\right. } \end{array}\right.  \)

 Vậy \(m\in \left(-\infty ;-1\right]\cup \left[0;4\right).\)