Có bao nhiêu số tự nhiên m không vượt quá 2020 và là số chẵn để hàm số y=2mx+4/x+2m đồng biến...

Question

Có bao nhiêu số tự nhiên m không vượt quá 2020 và là số chẵn để hàm số \(y=\frac{2mx+4}{x+2m}\)  đồng biến trên \(\left(1;+\infty \right)\)?

A. 1004.

B. 1001.

C. 1000.

D. 1010.

Answer 1

Chọn D

TXĐ: \(D={\rm R}\backslash \left\{-2m\right\}, y'=\frac{4m^{2} -4}{\left(x+2m\right)^{2} } .\)

Hàm số đồng biến trên \(\left(1;+\infty \right)\) khi 

\( \left\{\begin{array}{l} {y'>0,\forall x\in \left(1;+\infty \right)} \\ {-2m\notin \left(1;+\infty \right)} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m^{2} -1>0} \\ {-2m\le 1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m>1\vee m<-1} \\ {m\ge \frac{-1}{2} } \end{array}\right. \Leftrightarrow m>1.\)

Vậy có 1010 số tự nhiên m thỏa mãn bài toán.