Cho hàm số y=mx+8/x+2m (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc...

Question

Cho hàm số \(y=\frac{mx+8}{x+2m} \) (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[-2020\, ;\, 2020\right]\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(2\, ;\, +\infty \right)?\)

A. 2018.

B. 2017.

C. 4036.

D. 4034.

Answer 1

Chọn A

Tập xác định \(D={\rm R}\backslash \left\{-2m\right\}.\)
\(y'=\frac{2m^{2} -8}{\left(x+2m\right)^{2} } . \)
Hàm số \(y=\frac{mx+8}{x+2m}\)  đồng biến trên khoảng

\(\left(2\, ;\, +\infty \right) \Leftrightarrow y'=\frac{2m^{2} -8}{\left(x+2m\right)^{2} } >0,\forall x\in \left(2\, ;\, +\infty \right)\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {2m^{2} -8>0} \\ {-2m\notin \left(2\, ;\, +\infty \right)} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {2m^{2} -8>0} \\ {-2m\le 2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} {m<-2} \\ {m>2} \end{array}\right. } \\ {m\ge -1} \end{array}\right. \Leftrightarrow m>2. \)
Kết hợp điều kiện m>2 với m nguyên

và m thuộc đoạn \(\left[-2020\, ;\, 2020\right]\)

ta được \(m\in \left\{3;4;5;....;2020\right\}\). 

Vậy có 2018 giá trị  của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.