Cho hàm số f(x)=m+2/3 x^3 -(m+2)x^2 -(3m-1)x+2. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số đồng biến trên R.

Question

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\frac{m+2}{3} x^{3} -\left(m+2\right)x^{2} -\left(3m-1\right)x+2.\) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số đồng biến trên \({\rm R}.\)

 A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Answer 1

Chọn B

 Trường hợp 1: m=-2, hàm số trở thành \(f\left(x\right)=7x+2\)

đồng biến trên \({\rm R}.\)

 Do đó m=-2 thỏa mãn.

 Trường hợp 2: \(m\ne -2,~f\left(x\right)\) là hàm số bậc ba có 
\(f'\left(x\right)=\left(m+2\right)x^{2} -2\left(m+2\right)x-3m+1 \)

 Để hàm số đã cho đồng biến trên

\({\rm R}\Leftrightarrow f'\left(x\right)\ge 0,\forall x\in {\rm R}. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m+2>0} \\ {\Delta '=\left(m+2\right)^{2} +\left(m+2\right)\left(3m-1\right)\le 0} \end{array}\right.  \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m>-2} \\ {\left(m+2\right)\left(4m+1\right)\le 0} \end{array}\right. \Leftrightarrow -2<m\le -\frac{1}{4} . \)

 Vậy \(m\in \left[-2;-\frac{1}{4} \right]\).

Mà m là số nguyên nên \(m\in \left\{-2;-1;0\right\}.\)