Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để hàm số y=x^3+2mx^2-x+2 nghịch biến trên khoảng (1/2;5).

Question

Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để hàm số \(y=x^{3} +2mx^{2} -x+2\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{1}{2} ;5\right).\)

\( A. m<\frac{1}{8} \).

\(B. m\le \frac{1}{8} . \)

\(C. m<-\frac{37}{10} . \)

\(D. m\le -\frac{37}{10} .\)

Answer 1

Chọn D
y'=3x^{2} +4mx-1. 

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{1}{2} ;5\right)\)

\(\Leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \left(\frac{1}{2} ;5\right) \)

\(\Leftrightarrow 3x^{2} +4mx-1\le 0,\forall x\in \left(\frac{1}{2} ;5\right). \)
\(\Leftrightarrow m\le \frac{-3x^{2} +1}{4x}  , \forall x\in \left(\frac{1}{2} ;5\right)  \left(*\right) \)

Đặt \(g\left(x\right)=\frac{-3x^{2} +1}{4x} \)

Do \(g\left(x\right)\) liên tục tại \(x=\frac{1}{2} ,x=5\)

nên \(\left(*\right)\Leftrightarrow m\le {\mathop{\min }\limits_{\left[\frac{1}{2} ;5\right]}} g\left(x\right) .\)

Ta có \(g'\left(x\right)=-\frac{3x^{2} +1}{4x^{2} } <0,\forall x\in \left[\frac{1}{2} ;5\right] \)

Suy ra \({\mathop{\min }\limits_{\left[\frac{1}{2} ;5\right]}} g\left(x\right)=g\left(5\right)=-\frac{37}{10} . \)

 Vậy giá trị m cần tìm là \(m\le -\frac{37}{10} .\)