Question

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 8 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(\left|z+\overline{z}\right|+\left|z-\overline{z}\right|=\left|z^{2} \right|\) và \(\left|z\right|=m.\)

\(A. \left(\sqrt{2} ;2\right). \)

\(B. \left[2;2\sqrt{2} \right].\)

\(C. \left[\sqrt{2} ;2\right]. \)

\(D. \left(2;2\sqrt{2} \right).\)

Answer 1

Chọn D

Đặt \(z=a+bi, z=x+yi\left(x;y\in {\rm R}\right).\)

Theo giả thiết ta có \(\left|z+\overline{z}\right|+\left|z-\overline{z}\right|=\left|z^{2} \right|\)

\(\Leftrightarrow \left|2a\right|+\left|2b\right|=a^{2} +b^{2} \Leftrightarrow a^{2} +b^{2} -2\left|a\right|-2\left|b\right|=0. \)

\(\left|z+\bar{z}\right|+\left|z-\bar{z}\right|=\left|z^{2} \right|\Leftrightarrow \left|2x\right|+\left|2y\right|=x^{2} +y^{2} \)

\(\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} -2\left|x\right|-2\left|y\right|=0.\)
Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm biểu diễn số phức z thì tập hợp điểm M

là 4 cung tròn

\(\left\{\begin{array}{l} {x>0} \\ {y>0} \\ {\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =2} \end{array}\right. ; \left\{\begin{array}{l} {x<0} \\ {y>0} \\ {\left(x+1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =2} \end{array}\right. ; \)

\( \left\{\begin{array}{l} {x<0} \\ {y<0} \\ {\left(x+1\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} =2} \end{array}\right. ; \left\{\begin{array}{l} {x>0} \\ {y<0} \\ {\left(x-1\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} =2} \end{array}\right. .\)

Mặt khác \(\left|z\right|=m\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} =m^{2} \) ( m>0 do m=0 không thỏa mãn)

\(\Rightarrow\)  tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O bán kính m.

Gọi \(\left(C_{1} \right)\) là đường tròn tâm O bán kính R=2.

Gọi \(\left(C_{2} \right)\) là đường tròn tâm O bán kính \(R'=2\sqrt{2} \).

Gọi \(\left(C_{3} \right)\) là đường tròn tâm O bán kính R''=m.

Yêu cầu bài toán trở thành xác định các giá trị của

tham số m để đường tròn \(\left(C_{3} \right)\) cắt đồng thời 4 cung tròn

\(\Leftrightarrow 2<m<2\sqrt{2} .\)