Cho z ,w ∈ C thỏa |z+2|=|z| , |z+i|=|z-i|, |w-2-3i|=< 2√2 , |w-5+6i|=< 2√2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức...

Question

Cho \(z ,w\in {\rm C}\) thỏa \(\left|z+2\right|=\left|\overline{z}\right|\) , \(\left|z+i\right|=\left|z-i\right|\),\( \left|w-2-3i\right|\le 2\sqrt{2} \), \(\left|\overline{w}-5+6i\right|\le 2\sqrt{2}\) . Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\left|z-w\right|\) bằng  

\(A. 5\sqrt{2}\) .

\(B. 4\sqrt{2} . \)

\(C. 3\sqrt{2} . \)

\(D. 6\sqrt{2} .\)

Answer 1

Chọn A

Gọi \(z=x+yi, w=m+ni\)
\(\left|z+2\right|=\left|\overline{z}\right|\Leftrightarrow \left|x+yi+2\right|=\left|x-yi\right|\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{\left(x+2\right)^{2} +y^{2} } =\sqrt{x^{2} +y^{2} } \)

\(\Leftrightarrow \left(x+2\right)^{2} +y^{2} =x^{2} +y^{2}  \)
\(\Leftrightarrow x=-1\)
\(\left|z+i\right|=\left|z-i\right|\Leftrightarrow \left|x+\left(y+1\right)i\right|\)

\(=\left|x+\left(y-1\right)i\right|\Leftrightarrow y=0 \)
Vậy điểm \(A\left(-1;0\right)\) biểu diễn số phức z.

\(\left|w-2-3i\right|\le 2\sqrt{2} \Leftrightarrow \left|m+ni-2-3i\right|\le 2\sqrt{2} \)

\(\Leftrightarrow \sqrt{\left(m-2\right)^{2} +\left(n-3\right)^{2} } \le 2\sqrt{2}\)

 nên tập hợp điểm biểu diễn số phức w thuộc hình tròn

tâm \(I_{1} \left(2;3\right)\) có bán kính \(R_{1} =2\sqrt{2} .\)

\(\left|\overline{w}-5+6i\right|\le 2\sqrt{2} \Leftrightarrow \left|m-ni-5+6i\right|\le 2\sqrt{2} \)

\(\Leftrightarrow \sqrt{\left(m-5\right)^{2} +\left(n-6\right)^{2} } \le 2\sqrt{2}\)

 nên tập hợp điểm biểu diễn số phức w  thuộc hình tròn

tâm \(I_{2} \left(5;6\right)\) có bán kính \(R_{2} =2\sqrt{2} .\)

Do \(A, I_{1} , I_{2} \) thẳng hàng

 \(\Rightarrow \left|z-w\right|_{\max } =AI_{1} +R_{1} =\sqrt{3^{2} +3^{2} } +2\sqrt{2} =5\sqrt{2} \)

.