​Cho S.ABCD có đáy là hcn cạnh AB=a, , SA vuông góc với đáy. Góc SC và đáy bằng 45 độ. Khoảng cách từ A đến (SBD):

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB=a, \(BC=a\sqrt{3} \), SA vuông góc với đáy. Góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng \(45^{{\rm O} }\) . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) tính theo a bằng:

A. \(\frac{2a\sqrt{57} }{19} .\)

B. \(\frac{2a\sqrt{57} }{3} .\)

C. \(\frac{2a\sqrt{5} }{3} .\)

D.\( \frac{2a\sqrt{5} }{5} .\)
 

Answer 1

Chọn A

Ta có \(SA\bot (ABCD) \Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

\(\Rightarrow \left(\widehat{SC,(ABCD)}\right)=\widehat{SCA}=45^{0}  \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A.

Khi đó SA=AC\(=\sqrt{AB^{2} +BC^{2} } =2a.\)

Mặt khác.

Kẻ \(AK\bot BD\) thì \(BD\bot (SAK); (SAK)\bot (SBD) \)và \((SAK)\cap (SBD)=SK.\)

Trong mặt phẳng (SAK), kẻ \(AH\bot SK\) thì \(AH\bot (SBD).\)

Do đó \(AH=d\left(A,(SBD)\right).\)

Tam giác SAK vuông tại A có \(\frac{1}{AH^{2} } =\frac{1}{AK^{2} } +\frac{1}{SA^{2} } =\frac{1}{AB^{2} } +\frac{1}{AD^{2} } +\frac{1}{SA^{2} } \Rightarrow AH=\frac{2a\sqrt{57} }{19} .\)

Vậy \(d\left(A,(SBD)\right)=\frac{2a\sqrt{57} }{19} .\)