Chọn A
Ta có \(SA\bot (ABCD) \Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
\(\Rightarrow \left(\widehat{SC,(ABCD)}\right)=\widehat{SCA}=45^{0} \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A.
Khi đó SA=AC\(=\sqrt{AB^{2} +BC^{2} } =2a.\)
Mặt khác.
Kẻ \(AK\bot BD\) thì \(BD\bot (SAK); (SAK)\bot (SBD) \)và \((SAK)\cap (SBD)=SK.\)
Trong mặt phẳng (SAK), kẻ \(AH\bot SK\) thì \(AH\bot (SBD).\)
Do đó \(AH=d\left(A,(SBD)\right).\)
Tam giác SAK vuông tại A có \(\frac{1}{AH^{2} } =\frac{1}{AK^{2} } +\frac{1}{SA^{2} } =\frac{1}{AB^{2} } +\frac{1}{AD^{2} } +\frac{1}{SA^{2} } \Rightarrow AH=\frac{2a\sqrt{57} }{19} .\)
Vậy \(d\left(A,(SBD)\right)=\frac{2a\sqrt{57} }{19} .\)