S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), SA=3a, ABCD là hv cạnh a.Gọi M là trung điểm của SB. d(SC, DM) bằng

Question

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=3a, đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi M là trung điểm của SB. Khoảng cách giữa SC, DM bằng

\(A. \frac{2a}{3} . B. \frac{a}{\sqrt{6} } .\)

\(C. \frac{2a}{\sqrt{6} } . D. \frac{a}{3} . \)

Answer 1

Chọn B

Gọi N là trung điểm của \(BC\Rightarrow MN//SC\Rightarrow SC//\left(MND\right).\)

Do đó: \(d\left(SC,DM\right)=d\left(SC,\left(MND\right)\right)=d\left(B,\left(MND\right)\right).\)

Ta có: \(V_{M.BDN} =\frac{1}{3} d\left(M,\left(ABCD\right)\right).S_{\Delta BDN} =\frac{1}{3} .\frac{3a}{2} .\frac{a^{2} }{4} =\frac{a^{3} }{8} .\)

Lại có: \(MN=\frac{SC}{2} =\frac{\sqrt{11} a}{2} ;\, ND=\frac{\sqrt{5} a}{2} ;MD=\frac{\sqrt{14} a}{2} .\)

Suy ra: \(S_{\Delta MND} =\frac{3\sqrt{6} a^{2} }{8} \Rightarrow d\left(B,\left(MND\right)\right)=\frac{3V_{M.BDN} }{S_{\Delta MND} } =\frac{a}{\sqrt{6} } .  \)

Vậy khoảng cách cần tìm là \(d=\frac{a}{\sqrt{6} } .\)