​Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn z1+z2=3+4i và |z1−z2|=5. Tính max của biểu thức P=|z1|+|z2| ​

Question

Cho hai số phức \(z_{1} ,z_{2} \) thỏa mãn \(z_{1} +z_{2} =3+4i\) và \(\left|z_{1} -z_{2} \right|=5\). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left|z_{1} \right|+\left|z_{2} \right| \)

A. 10.

B. \(5\sqrt{2} .\)

C. 5.

D. \(10\sqrt{2} .\)

Answer 1

Chọn B 

Đặt \(\left\{\begin{array}{l} {z_{1} =a+bi} \\ {z_{2} =c+di} \end{array}\right. {\rm \; }\left(a,b,c,d\in {\rm R}\right). \)

Theo giả thiết ta có : \(\left\{\begin{array}{l} {z_{1} +z_{2} =3+4i} \\ {\left|z_{1} -z_{2} \right|=5} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a+c=3} \\ {b+d=4} \\ {\left(a-c\right)^{2} +\left(b-d\right)^{2} =5} \end{array}\right. .\)

Xét\( P=\left|z_{1} \right|+\left|z_{2} \right|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } +\sqrt{c^{2} +d^{2} } \le \sqrt{\left(1+1\right).\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} +d^{2} \right)} .\)

Mà \(a^{2} +b^{2} +c^{2} +d^{2} =\frac{\left(a+c\right)^{2} +\left(b+d\right)^{2} +\left(a-c\right)^{2} +\left(b-d\right)^{2} }{2} =\frac{3^{2} +4^{2} +5^{2} }{2} =25.\)

Nên \(P\le 5\sqrt{2} .\)