|z1|=2,|(1−i)z2|=6–√và|z1−z2|=5–√.​ Giá trị lớn nhất |2z1+z2−2021| bằng ​

Question

Xét hai số phức z1,z2 thỏa mãn \(\left|z_{1} \right|=2,\left|\left(1-i\right)z_{2} \right|=\sqrt{6}  và \left|z_{1} -z_{2} \right|=\sqrt{5} .\) Giá trị lớn nhất \(\left|2z_{1} +z_{2} -2021\right|\) bằng

\(A. 2044 B. -\sqrt{23} +2021\)
\(C. \sqrt{23} +2021 D. 2\sqrt{23} +2021 \)

Answer 1

Chọn C

Đặt \(z_{1} =a+bi,z_{2} =c+di với a,b,c,d\in {\rm R}.\) Theo giả thiết thì
\(\left|z_{1} \right|=1\Rightarrow a^{2} +b^{2} =4\)
\(\left|\left(1-i\right)z_{2} \right|=\sqrt{6} \Leftrightarrow \left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{6} }{\left|1-i\right|} =\sqrt{3} \Rightarrow c^{2} +d^{2} =3\)
\(\left|z_{1} -z_{2} \right|=\sqrt{5} \Rightarrow \left(a-c\right)^{2} +\left(b-d\right)^{2} =5\)
Do đó \(a^{2} -2ac+c^{2} +b^{2} -2bd+d^{2} =5\Rightarrow ac+bd=1\)

Ta có \(2z_{1} +z_{2} =\left(2a+c\right)+\left(2b+d\right)i\) nên
\(\left|2z_{1} +z_{2} \right|^{2} =\left(2a+c\right)^{2} +\left(2b+d\right)^{2} =4\left(a^{2} +b^{2} \right)+\left(c^{2} +d^{2} \right)+4\left(ac+bd\right)=23\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\left|z+z'\right|\le \left|z\right|+\left|z'\right|, \)ta có 
\(\left|2z_{1} +z_{2} -2021\right|\le \left|2z_{1} +z_{2} \right|+\left|-2021\right|=\sqrt{23} +2021.\)