​Xét các số phức z1, z2 thỏa mãn |z1−4|=1 và |iz2−2|=1. Giá trị lớn nhất của |z1+2z2−6i| bằng ​

Question

Xét các số phức z1, z2  thỏa mãn \(\left|z_{1} -4\right|=1 và \left|iz_{2} -2\right|=1.\) Giá trị lớn nhất của \(\left|z_{1} +2z_{2} -6i\right| \)bằng

\(A. 2\sqrt{2} -2.\)

\(B. 4-\sqrt{2} .\)

\(C. 4\sqrt{2} +9.\)

\(D. 4\sqrt{2} +3. \)

Answer 1

Chọn C

Đặt \(z_{3} =-2z_{2} ,\) suy ra \(P=\left|z_{1} +2z_{2} -6i\right|=\left|z_{1} -(-2z_{2} )-6i\right|=\left|z_{1} -z_{3} -6i\right|.\)

Và \(z_{2} =-\frac{1}{2} z_{3}  thế vào \left|iz_{2} -2\right|=1\Leftrightarrow \left|-\frac{1}{2} iz_{3} -2\right|=1\)

\(\Leftrightarrow \left|-\frac{1}{2} iz_{3} -2\right|.\left|2i\right|=1.\left|2i\right|\Leftrightarrow \left|z_{3} -4i\right|=2.\)

Gọi \(A,{\rm \; }B\) là hai điểm biểu diễn cho hai số phức \(z_{3} ,{\rm \; }z_{1} .\)

\( \bullet \, \left|z_{3} -4i\right|=2\Rightarrow A \)thuộc đường tròn tâm \(I(0;4),{\rm \; }R_{3} =2. \)

\( \bullet \, \left|z_{1} -4\right|=1\Rightarrow B \)thuộc đường tròn tâm \(J(4;0),{\rm \; }R_{1} =1.\)
\(\Rightarrow P=\left|z_{1} -z_{3} -6i\right|\le \left|z_{1} -z_{3} \right|+\left|-6i\right|\)

\(=AB+6\le IJ+R_{1} +R_{3} +6=4\sqrt{2} +1+2+6=4\sqrt{2} +9.\)
Vậy \(P_{\max } =4\sqrt{2} +9.\)