​Cho y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số f(x) đạt cực trị tại ba điểm. Tỉ số bằng

Question

Cho hàm số bậc bốn trùng phương y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số f(x) đạt cực trị tại ba điểm \(x_{1} ,x_{2} ,\, x_{3} \, \, (x_{1} <x_{2} <x_{3} )\) thỏa mãn \(x_{1} +x_{3} =4. \) Gọi S1 và S2 là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình. Tỉ số \(\frac{S_{1} }{S_{2} } \)bằng

\(A. \frac{2}{5} \)

\(B. \frac{7}{16} \)

\(C. \frac{1}{2} \)

\(D. \frac{7}{15} \)
 

Answer 1

Chọn B

Rõ ràng kết quả bài toán không đổi khi ta tịnh tiến đồ thị sang trái sao cho \(x_{2} =0\)

Gọi \(g(x)=ax^{4} +bx^{2} +c\), ta có hàm số g(x) là chẵn và có 3 điểm cực trị tương ứng là \(-2;\, 0;\, \, 2\)

là các nghiệm của phương trình \(4ax^{3} +2bx=0\)

Dựa vào đồ thị g(x), ta có g(0)=0.  Từ đó suy ra \(g(x)=a(x^{4} -8x^{2} )\) với a>0.

Do tính đối xứng của hàm trùng phương nên diện tích hình chữ nhật bằng \(2S_{1} +S_{2} =\left|g\eqref{GrindEQ__2_}\right|.4=64a\)

Ta có S1  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số g(x), trục hoành, đường thẳng \(x=-2,\, \, x=0.\)

\(S_{1} =\int _{-2}^{0}\left|g(x)\right|{\rm d}x =a\int _{-2}^{0}\left|x^{4} -8x^{2} \right|{\rm d}x =\frac{224a}{15} \)

Suy ra \(S_{2} =64a-2.\frac{224a}{15} =\frac{512a}{15} \)

Vậy \(\frac{S_{1} }{S_{2} } =\frac{224}{512} =\frac{7}{16} \)