Chào mừng bạn đến với Selfomy Hỏi Đáp, hãy Hỏi bài tập hoặc Tham gia ngay
0 phiếu
186 lượt xem
trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)

Cho các số phức \(z_{1} ,z_{2} ,\, z_{3} \) thỏa mãn \(\left|z_{1} +1-4i\right|=2,\, \left|z_{2} -4-6i\right|=1 và \left|z_{3} -1\right|=\left|z_{3} -2+i\right|. \)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left|z_{3} -z_{1} \right|+\left|z_{3} -z_{2} \right|\)

\(A. \frac{\sqrt{14} }{2} +2\)

\(B. \sqrt{29} -3\)

\(C. \frac{\sqrt{14} }{2} +2\sqrt{2} \)

\(D. \sqrt{85} -3\)
 


1 Câu trả lời

0 phiếu
bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
 
Hay nhất

Chọn D

Đặt \(z_{1} =x_{1} +y_{1} i\left(x_{1} ,y_{1} \in {\rm R}\right)\)
\(\left|z_{1} +1-4i\right|=2\Leftrightarrow \left(x_{1} +1\right)^{2} +\left(y_{1} -4\right)^{2} =4.\)
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phứcz1 là đường tròn \(\left(C_{1} \right):\left(x+1\right)^{2} +\left(y-4\right)^{2} =4 \)có tâm \(I_{1} \left(-1\, ;4\right),\) bán kính \(R_{1} =2\)

Đặt \(z_{2} =x_{2} +y_{2} i\left(x_{2} ,y_{2} \in {\rm R}\right) \)

\(\left|z_{2} -4-6i\right|=1\Leftrightarrow \left(x_{2} -4\right)^{2} +\left(y_{2} -6\right)^{2} =1.\)
Vậy tập hợp điểm N biểu diễn số phức z2  là đường tròn \(\left(C_{2} \right):\left(x-4\right)^{2} +\left(y-6\right)^{2} =1 có tâm I_{2} \left(4\, ;6\right), \)bán kính \(R_{2} =1\)

 Đặt \(z_{3} =x_{3} +y_{3} i\left(x_{3} ,y_{3} \in {\rm R}\right)\)
\(\left|z_{3} -1\right|=\left|z_{3} -2+i\right|\Leftrightarrow x_{3} -y_{3} -2=0.\)
Vậy tập hợp điểm A biểu diễn số phức z3  là đường thẳng d:x-y-2=0

Khi đó: \(P=\left|z_{3} -z_{1} \right|+\left|z_{3} -z_{2} \right|=AM+AN\)

Mặt khác, \(d\left(I_{1} ,d\, \right)=\frac{\sqrt{14} }{2} >R_{1} \, ;\, \, d\left(I_{2} ,d\, \right)=2\sqrt{2} >R_{2}  và I_{1} ,\, I_{2} \) nằm cùng phía đối với d

Gọi \(\left(C'_{2} \right)\) là đường tròn đối xứng với với \(\left(C_{2} \right)\) qua d, suy ra \(\left(C'_{2} \right):\left(x-8\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} =1 \)và gọi N' là điểm đối xứng với N qua d. \(\left(C'_{2} \right) có tâm I'_{2} \left(8\, ;2\right), bán kính R'_{2} =1.\)

 Ta có: 
\(AM+MI_{1} \ge AI_{1} \Rightarrow AM\ge AI_{1} -MI_{1} =AI_{1} -2.\)
\(AN+NI_{2} =AN'+N'I'_{2} \ge AI'_{2} \Rightarrow AN'\ge AI'_{2} -N'I'_{2} =AI'_{2} -1.\)
Suy ra \(P=AM+AN=AM+AN'\ge AI_{1} +AI'_{2} -3\ge I_{1} I'_{2} -3=\sqrt{85} -3\)

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 điểm \(I_{1} ,\, A,\, I'_{2} \) thẳng hàng.

Vậy \(\min P=\sqrt{85} -3\)
 

Các câu hỏi liên quan

0 phiếu
1 trả lời 1.1k lượt xem
Cho các số phức z1 và z2 thỏa mãn \(\left|z_{1} +1+i\right|=1 và \left|z_{2} -2-3i\right|=2.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left|z_{1} -z_{2} \right|.\) \(A. 2 B. \frac{3}{2} \) \(C. \frac{5}{2} D. 3\)
đã hỏi 19 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 3.6k lượt xem
Cho hai số phức \(z_{1} ,z_{2}\) thoả mãn \(\left|z_{1} +2-i\right|+\left|z_{1} -4-7i\right|=6\sqrt{2}\) và \(\left|iz_{2} -1+2i\right|=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=\left|z_{1} +z_{2} \right|.\) \(A. \sqrt{2} -1. \) \(B. \sqrt{2} +1. \) \(C. 2\sqrt{2} +1. \) \(D. 2\sqrt{2} -1.\)
đã hỏi 26 tháng 12, 2020 trong Toán lớp 12 bởi nguyenlengoc070902613 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (8.4k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 783 lượt xem
Cho \(z_{1} ,z_{2} \in {\rm C}\), thỏa \(\left|z_{1} -2-5i\right|=3,{\it \; \; }\left|z_{2} +1+2i\right|=\left|z_{2} +i\right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(P=\left|z_{1} -z_{2} +1-3i\right|\) là \(A. \frac{5\sqrt{2} -6}{2} \) . \(B. \frac{7\sqrt{2} -6}{2}\) . \(C. \frac{5\sqrt{2} +6}{2}\) . \(D. \frac{7\sqrt{2} +6}{2} .\)
đã hỏi 26 tháng 12, 2020 trong Toán lớp 12 bởi nguyenlengoc070902613 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (8.4k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 2.2k lượt xem
Cho số phức z thay đổi thỏa mãn \(\left|z+i\right|=2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left|z+i-4\right|+2\left|z+3i-3\right|\) bằng \(A. 2\sqrt{3} . \) \(B. \sqrt{2} . \) \(C. 4\sqrt{2} . \) \(D. 6.\)
đã hỏi 19 tháng 12, 2020 trong Toán lớp 12 bởi nguyenlengoc070902613 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (8.4k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 612 lượt xem
Môđun(z1-i)/(z1+2-3i)=1, modun(z2+i)/(z2-1+i)=√2
đã hỏi 21 tháng 4, 2022 trong Toán lớp 12 bởi Khách
0 phiếu
1 trả lời 1.7k lượt xem
Cho hai số phức z,w thỏa mãn \(\left|z-i\right|=2 và w=\frac{z-1+i}{z-2-i}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left|w\right|.\) A. 4. B. \(\frac{7}{3} a.\) C. \(\frac{\sqrt{5} }{20} .\) D. \(\frac{a\sqrt{7} }{2} .\)
đã hỏi 13 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 3.6k lượt xem
Cho hai số phức \(z_{1} ,\, z_{2}\) thỏa mãn điều kiện \(\left|z-3-4i\right|=2\) và \(\left|z_{1} -z_{2} \right|=1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left|z_{1}^{2} \right|-\left|z_{2}^{2} \right|\) bằng \(A. -6-2\sqrt{5} . \) \(B. -5. \) \(C. -\sqrt{85} . \) \(D. -10.\)
đã hỏi 26 tháng 12, 2020 trong Toán lớp 12 bởi nguyenlengoc070902613 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (8.4k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 1.9k lượt xem
Cho hai số phức \(z_{1} ,z_{2}\) thỏa mãn \(\left|z_{1} -5+3i\right|=\left|z_{1} -1-3i\right|, \left|z_{2} -4-3i\right|=\left|z_{2} -2+3i\right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left|z_{1} -z_{2} \right|+\left|\ ... là \(A. \frac{16}{\sqrt{13} } . \) \(B. \frac{18}{\sqrt{13} } . \) \(C. 2\sqrt{10} . \) \(D. 6.\)
đã hỏi 20 tháng 12, 2020 trong Toán lớp 12 bởi nguyenlengoc070902613 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (8.4k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 2.1k lượt xem
Cho hai số phức \(z_{1} ,\, \, z_{2}\) thoả mãn \(\left|z_{1} +1-2i\right|+\left|z_{1} -3-3i\right|=2\left|z_{2} -1-\frac{5}{2} i\right|=\sqrt{17}\) . Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left|z_{1} -z_{2} \right|+\left ... ; \(A. 3\sqrt{41} . \) \(B. \sqrt{17} +\sqrt{41} .\) \(C. \sqrt{17} -\sqrt{41} . \) \(D. 2\sqrt{17} .\)
đã hỏi 20 tháng 12, 2020 trong Toán lớp 12 bởi nguyenlengoc070902613 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (8.4k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 1.7k lượt xem
Cho hai số phức \(z_{1} ,z_{2} \) thỏa mãn \(z_{1} +z_{2} =3+4i\) và \(\left|z_{1} -z_{2} \right|=5\). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left|z_{1} \right|+\left|z_{2} \right| \) A. 10. B. \(5\sqrt{2} .\) C. 5. D. \(10\sqrt{2} .\)
đã hỏi 13 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)

HOT 1 giờ qua

  1. nguyenmanh04102009212

    166 Điểm

  2. tnk11022006452

    120 Điểm

  3. hoconghung031007464

    80 Điểm

Phần thưởng hằng tháng
Hạng 1: 200.000 đồng
Hạng 2: 100.000 đồng
Hạng 3: 50.000 đồng
Hạng 4-10: 20.000 đồng
Bảng xếp hạng cập nhật 30 phút một lần
...