Chọn D
Đặt \(z_{1} =x_{1} +y_{1} i\left(x_{1} ,y_{1} \in {\rm R}\right)\)
\(\left|z_{1} +1-4i\right|=2\Leftrightarrow \left(x_{1} +1\right)^{2} +\left(y_{1} -4\right)^{2} =4.\)
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phứcz1 là đường tròn \(\left(C_{1} \right):\left(x+1\right)^{2} +\left(y-4\right)^{2} =4 \)có tâm \(I_{1} \left(-1\, ;4\right),\) bán kính \(R_{1} =2\)
Đặt \(z_{2} =x_{2} +y_{2} i\left(x_{2} ,y_{2} \in {\rm R}\right)
\)
\(\left|z_{2} -4-6i\right|=1\Leftrightarrow \left(x_{2} -4\right)^{2} +\left(y_{2} -6\right)^{2} =1.\)
Vậy tập hợp điểm N biểu diễn số phức z2 là đường tròn \(\left(C_{2} \right):\left(x-4\right)^{2} +\left(y-6\right)^{2} =1 có tâm I_{2} \left(4\, ;6\right), \)bán kính \(R_{2} =1\)
Đặt \(z_{3} =x_{3} +y_{3} i\left(x_{3} ,y_{3} \in {\rm R}\right)\)
\(\left|z_{3} -1\right|=\left|z_{3} -2+i\right|\Leftrightarrow x_{3} -y_{3} -2=0.\)
Vậy tập hợp điểm A biểu diễn số phức z3 là đường thẳng d:x-y-2=0
Khi đó: \(P=\left|z_{3} -z_{1} \right|+\left|z_{3} -z_{2} \right|=AM+AN\)
Mặt khác, \(d\left(I_{1} ,d\, \right)=\frac{\sqrt{14} }{2} >R_{1} \, ;\, \, d\left(I_{2} ,d\, \right)=2\sqrt{2} >R_{2} và I_{1} ,\, I_{2} \) nằm cùng phía đối với d
Gọi \(\left(C'_{2} \right)\) là đường tròn đối xứng với với \(\left(C_{2} \right)\) qua d, suy ra \(\left(C'_{2} \right):\left(x-8\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} =1 \)và gọi N' là điểm đối xứng với N qua d. \(\left(C'_{2} \right) có tâm I'_{2} \left(8\, ;2\right), bán kính R'_{2} =1.\)
Ta có:
\(AM+MI_{1} \ge AI_{1} \Rightarrow AM\ge AI_{1} -MI_{1} =AI_{1} -2.\)
\(AN+NI_{2} =AN'+N'I'_{2} \ge AI'_{2} \Rightarrow AN'\ge AI'_{2} -N'I'_{2} =AI'_{2} -1.\)
Suy ra \(P=AM+AN=AM+AN'\ge AI_{1} +AI'_{2} -3\ge I_{1} I'_{2} -3=\sqrt{85} -3\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 điểm \(I_{1} ,\, A,\, I'_{2} \) thẳng hàng.
Vậy \(\min P=\sqrt{85} -3\)