Tính gần đúng giá trị x để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể).

Question

Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng \(1m^{2} \)và cạnh \(BC=x\left(m\right) \)để làm một thùng đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật ABCD thành 2 hình chữ nhật ADNM và BCNM, trong đó phần hình chữ nhật ADNM được gò thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng AM; phần hình chữ nhật BCNM được cắt ra một hình tròn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox thừa được bỏ đi) Tính gần đúng giá trị x để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể).

A. 0,97m

B. 1,37m

C. 1,12m

D. 1,02m
 

Answer 1

Chọn D

 Ta có \(AB.BC=1\Rightarrow AB=\frac{1}{BC} =\frac{1}{x} \left(m\right)\)

Gọi \(r\left(m\right)\) là bán kính đáy hình trụ inox gò được, ta có chu vi hình tròn đáy bằng \(BC=x\left(m\right)\). Do đó \(2\pi r=x\Leftrightarrow r=\frac{x}{2\pi } \left(m\right)\)

Như vậy\( BM=2r=\frac{x}{\pi } \Rightarrow AM=AB-BM=\frac{1}{x} -\frac{x}{\pi } \left(m\right)\)

Thể tích khối trụ inox gò được là \(V=\pi r^{2} h=\pi .\left(\frac{x}{2\pi } \right)^{2} .\left(\frac{1}{x} -\frac{x}{\pi } \right)=\frac{1}{4\pi ^{2} } x\left(\pi -x^{2} \right)\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=x\left(\pi -x^{2} \right) với x>0\)
\(f'\left(x\right)=\pi -3x^{2} ; f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=\sqrt{\frac{\pi }{3} } ;\)
\(f'\left(x\right)>0\Leftrightarrow x\in \left(0;\sqrt{\frac{\pi }{3} } \right) và f'\left(x\right)<0\Leftrightarrow x\in \left(\sqrt{\frac{\pi }{3} } ;+\infty \right)\)

Bởi vậy f(x) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\sqrt{\frac{\pi }{3} } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(\sqrt{\frac{\pi }{3} } ;+\infty \right).\)

Suy ra \({\mathop{\max }\limits_{\left(0;+\infty \right)}} f\left(x\right)=f\left(\sqrt{\frac{\pi }{3} } \right)=\frac{2\pi \sqrt{3\pi } }{9} \Rightarrow V_{\max } \Leftrightarrow f\left(x\right)_{\max } \Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{\pi }{3} } \approx 1,02\left(m\right)\)