(P) qua A',C' và cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại B',D'và đặt k=VS.A′B′C′D′VS.ABCD. Giá trị nhỏ nhất của k là ​

Question

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành. Các điểm A',C' thỏa mãn \(\overrightarrow{SA'}=\frac{1}{3} \overrightarrow{SA},\, \, \overrightarrow{SC'}=\frac{1}{5} \overrightarrow{SC}. \)Mặt phẳng (P) qua A',C' và cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại B',D'và đặt \(k=\frac{V_{S.A'B'C'D'} }{V_{S.ABCD} } \). Giá trị nhỏ nhất của k là

\(A. \frac{4}{15} . B. \frac{1}{30} .\)

\(C. \frac{1}{60} . D. \frac{\sqrt{15} }{16} . \)

Answer 1

Chọn C

Đặt \(a=\frac{SB}{SB'} ,\, \left(a\ge 1\right).\)

Ta có: \(\frac{SA}{SA'} +\frac{SC}{SC'} =\frac{SB}{SB'} +\frac{SD}{SD'} \Rightarrow \frac{SD}{SD'} =8-a\Rightarrow \frac{SD'}{SD} =\frac{1}{8-a}  (điều kiện 8-a\ge 1\Rightarrow a\le 7)\)

Mặt khác: \(k=\frac{V_{S.A'B'C'D'} }{V_{S.ABCD} } =\frac{1}{2} \left(\frac{1}{15} .\frac{1}{a} +\frac{1}{15} .\frac{1}{8-a} \right)=\frac{1}{30} \left(\frac{1}{a} +\frac{1}{8-a} \right) \)

Đặt \(k=\frac{V_{S.A'B'C'D'} }{V_{S.ABCD} } =\frac{1}{2} \left(\frac{1}{15} .\frac{1}{a} +\frac{1}{15} .\frac{1}{8-a} \right)=\frac{1}{30} \left(\frac{1}{a} +\frac{1}{8-a} \right) \)

Suy ra:\( f'\left(a\right)=-\frac{1}{a^{2} } +\frac{1}{\left(8-a\right)^{2} } =0\Leftrightarrow \left(8-a\right)^{2} =a^{2} \Leftrightarrow a=4 \)
\(\[f\left(1\right)=\frac{8}{7} ;\, f\left(4\right)=\frac{1}{2} ;\, f\left(7\right)=\frac{8}{7} \] \)
Suy ra: \(f\left(a\right) \)đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{1}{2}  tại a=4.\)

Vậy: giá trị nhỏ nhất của k là \(\frac{1}{30} .\frac{1}{2} =\frac{1}{60} .\)