Hai đường thẳng d và d' qua A tương ứng song song Ox, Oy và cắt (T) lần lượt tại B, C. Tg ABC có Smin bằng

Question

Cho hàm số\( f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l} {-\frac{2}{x} {\rm \; khi\; }x>0} \\ {-\frac{8}{x} {\rm \; khi\; }x<0} \end{array}\right. {\rm \; } \)có đồ thị (T). Xét điểm A di động trên đường thẳng \(\Delta :y=x.\) Hai đường thẳng d và d' qua A tương ứng song song Ox, Oy và cắt (T) lần lượt tại B, C. Tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất bằng 

A. 16.

B. 9.

C. 18.

D. 8.

Answer 1

Chọn B 

Gọi \(A\left(x;x\right) với x\ne 0, khi đó B\left(\frac{-2}{x} ;x\right) và C\left(x;\frac{-8}{x} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left(\frac{-2-x^{2} }{x} ;0\right) \)
\(\overrightarrow{AC}=\left(0;\frac{-8-x^{2} }{x} \right)\)

\(S_{\triangle ABC} =\frac{1}{2} \left|\frac{\left(-2-x^{2} \right)\left(-8-x^{2} \right)}{x^{2} } \right|=\frac{\left(x^{2} +2\right)\left(x^{2} +8\right)}{2x^{2} }  =\frac{x^{2} }{2} +\frac{8}{x^{2} } +5\ge 2\sqrt{\frac{x^{2} }{2} .\frac{8}{x^{2} } } +5=9.\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x^{4} =16\Leftrightarrow x=\pm 2.\)