Khi f(1)=−34vàf′(−1)=1thìmax[m;p]|f(x)| bằng

Question

Đồ thị của hàm số\( f\left(x\right)=ax^{4} +bx^{2} +c\) có đúng ba điểm chung với trục hoành tại các điểm M,N,P có hoành độ lần lượt là \(m,\, \, n,\, \, p\, \, \left(m<n<p\right). Khi f\left(1\right)=\frac{-3}{4}  và f'\left(-1\right)=1 thì {\mathop{\max }\limits_{\left[m;p\right]}} \left|f\left(x\right)\right|\) bằng

A. \frac{1}{4} . B. 4. C. 0. D. 1.
 

Answer 1

Chọn D

Vì phương trình\( f\left(x\right)=0\) có ba nghiệm phân biệt nên phương trình \(f\left(x\right)=0\) có một nghiệm \(x=0\Leftrightarrow c=0. \)

Ta có \(f'\left(x\right)=4ax^{3} +2bx. \)

Mà \(\left\{\begin{array}{l} {f\left(1\right)=-\frac{3}{4} } \\ {f'\left(-1\right)=1} \end{array}\right.  nên \left\{\begin{array}{l} {a+b=-\frac{3}{4} } \\ {-4a-2b=1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=\frac{1}{4} } \\ {b=-1} \end{array}\right. . \)

Khi đó \(f\left(x\right)=\frac{1}{4} x^{4} -x^{2} . \)
\(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=\pm 2} \end{array}\right. \)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{4} x^{4} -x^{2}  trên đoạn \left[-2;2\right] \)

Hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[-2;2\right] \)

Ta có \(f'\left(x\right)=x^{3} -2x=0\Leftrightarrow x=0;x=\pm \sqrt{2}  \)
\(f\left(-2\right)=0;\, \, f\left(-\sqrt{2} \right)=-1;\, \, f\left(0\right)=0;\, \, f\left(\sqrt{2} \right)=-1;\, \, f\left(2\right)=0\)
Suy ra \(-1\le f\left(x\right)\le 0 nên 0\le \left|f\left(x\right)\right|\le 1 \)

Từ đó ta được \({\mathop{\max }\limits_{\left[m;p\right]}} \left|f\left(x\right)\right|={\mathop{\max }\limits_{\left[-2;2\right]}} \left|\frac{1}{4} x^{4} -x^{2} \right|=1.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=\pm \sqrt{2} .\)