Gọi A' là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (SCD). Thể tích khối đa diện SA'.ABCD bằng:

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,\( AB=BC=a,\, \, \, AD=2{\rm a},\, \, \, SA\) vuông góc với đáy, \(SA=a\sqrt{2} .\) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (SCD). Thể tích khối đa diện SA'.ABCD bằng:

\(A.\frac{\sqrt{2} a^{3} }{3} . B.\sqrt{2} a^{3} .\)

\(C.\frac{2\sqrt{2} a^{3} }{3} . D. 2\sqrt{2} a^{3} .\)
 

Answer 1

Chọn D

Ta có: \(V_{S.ABCD} =\frac{1}{3} h.S_{ABCD} =\frac{1}{3} a\sqrt{2} .\frac{\left(a+2a\right)a}{2} =\frac{\sqrt{2} a^{3} }{2} .\)

Ta lại có: \(\left\{\begin{array}{l} {CD\bot AC} \\ {CD\bot AS} \\ {AC\cap AS} \end{array}\right. \Rightarrow CD\bot \left(SAC\right)\Rightarrow \left(SCD\right)\bot \left(SAC\right)\)

Mặt khác A' là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng\( \left(SCD\right) \)nên: \(AA'\bot \left(SCD\right)\Rightarrow AA'\subset \left(SAC\right)\)

Khi đó: AA' và SC cắt nhau tại trung điểm AA'.

Ta có: \(V_{S.ABCD} =V_{SABC} +V_{SACD} =\frac{1}{3} h_{A} .S_{SBC} +\frac{1}{3} h_{A} .S_{SCD} =\frac{1}{3} h_{A'} .S_{SBC} +\frac{1}{3} h_{A'} .S_{SCD} \)
\(\[=V_{A'SBC} +V_{A'SCD} =V_{A'SBCD} \] \)
Vậy: \(V_{SA'ABCD} =V_{SABCD} +V_{A'SBCD} =2V_{SABCD} =\sqrt{2} a^{3}  \)