Cho hình chóp đều S.ABCDđáy ABCDlà hv cạnh 2a, tâm O. Gọi M là trđiểm SA. Tính ​d(OM;SB)biết(MCD)⊥(SAB).

Question

Cho hình chóp đều S.ABCDđáy ABCDlà hình vuông cạnh 2a, tâm O. Gọi M là trung điểm SA. Tính \(d\left(OM;SB\right) biết \left(MCD\right)\bot \left(SAB\right).\)

\(A. \frac{a\sqrt{3} }{2} . B. \frac{a\sqrt{3} }{4} .\)

\(C. \frac{3a\sqrt{2} }{2} . D. 3a\sqrt{2} .\)
 

Answer 1

Chọn A

Gọi N,E,F,Glần lượt là trung điểm của SB,AB,\(C{\rm D},\)MN.

Ta có \(\left\{\begin{array}{l} {\left(SAB\right)\bot \left(MCD\right)} \\ {\left(SAB\right)\cap \left(MCD\right)=MN} \\ {SE\bot MN} \end{array}\right. \Rightarrow SE\bot \left(MCD\right)\Rightarrow SE\bot GF\Rightarrow \Delta SEF\)cân tại F

Mà \(\Delta SEF\)cân tại \(S\Rightarrow \Delta SEFđều. Suy ra SO=2a.\frac{\sqrt{3} }{2} =a\sqrt{3} \)

Vì \(OM//SC\Rightarrow OM//\left(SBC\right).\) Vậy \(d\left(OM,SB\right)=d\left(OM,\left(SBC\right)\right)=d\left(O,\left(SBC\right)\right)\, \)

Kẻ \(OK\bot BC\Rightarrow BC\bot \left(SOK\right)\)

Kẻ \(OH\bot SK\Rightarrow OH\bot \left(SBC\right)\)

Vậy \(d\left(O,\left(SBC\right)\right)\, =OH=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{OK^{2} } +\frac{1}{SO^{2} } } } =\frac{a\sqrt{3} }{2}  \)