Cho khối tứ diện ABCD có V. Biết d giữa các cặp AB,CD; AC, BD; AD, BC là, 3, 4, 5. Giá trị nhỏ nhất của V là

Question

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Biết khoảng cách giữa các cặp cạnh đối AB và CD, AC và BD, AD và BC lần lượt là, 3, 4, 5. Giá trị nhỏ nhất của Vlà

A. 20.

B. 15.

C. 30.

D. 10.
 

Answer 1

Chọn A

Dựng hình hộp AMBN.HCKD. Khi đó khoảng cách giữa các mặt đối diện của hình hộp lần lượt là 3, 4, 5.

Ta có:
\(\[\begin{array}{l} {V_{ABCD} =\frac{1}{3} V_{AMBN.HCKD} } \\ {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, =\frac{1}{3} d\left(\left(AMBN\right),\left(HCKD\right)\right).d\left(CK,HD\right).CK} \\ {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, =\frac{1}{3} d\left(AB,CD\right).d\left(CK,HD\right).CK} \\ {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ge \frac{1}{3} d\left(AB,CD\right).d\left(\left(ANDH\right),\left(BKCM\right)\right).CK} \end{array}.\] \)
Mà:
\(\[\left\{\begin{array}{l} {d\left(AB,CD\right)=3} \\ {d\left(\left(ANDH\right),\left(BKCM\right)\right)=d\left(AD,BC\right)=5} \\ {CK\ge d\left(\left(BKD\right),\left(BKCM\right)\right)=d\left(AC,BD\right)=4} \end{array}\right. .\] \)
Suy ra: \(V_{ABCD} \ge \frac{1}{3} .3.4.5=20\Rightarrow \min V=20.\)

Dấu "=" xáy ra khi AMBN.HCKD là hình hộp chữ nhật. Hay AB=CD,AC=BD,AD=BC.