AB=a;∠SAB=∠SCB=90∘. ​Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)bằnga3√3. Thể tích khối chóp S.ABC bằng ​

Question

Cho hình chóp S.ABC có\( \Delta ABC \)vuông cân tại B,\(AB=a\, ;\, \angle SAB=\angle SCB=90{}^\circ\) , khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left(SBC\right) bằng \frac{a\sqrt{3} }{3} \). Thể tích khối chóp S.ABC bằng

\(A. \frac{a^{3} \sqrt{2} }{4} . B. \frac{a^{3} \sqrt{2} }{12} .\)

\(C. \frac{a^{3} \sqrt{6} }{3} . D. \frac{3a^{3} \sqrt{2} }{4} . \)

Answer 1

Chọn B

Gọi H là hình chiếu của Slên \(mp\left(ABC\right).\) Ta có:
\(\[AB\bot SA\Rightarrow AB\bot AH.\] \)
\(BC\bot SC\Rightarrow BC\bot CH mà AB=BC=a\Rightarrow\) ABCH là hình vuông.

Mặt khác, \(AH//\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SBC\right)\right)=d\left(H;\left(SBC\right)\right).\)

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SC. Ta có: 
\(\[\left\{\begin{array}{c} {BC\bot HC} \\ {BC\bot SH} \end{array}\Rightarrow BC\bot \left(SHC\right)\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {HK\bot BC} \\ {HK\bot SC} \end{array}\Rightarrow HK\bot \left(SBC\right)\right.\)

\(\Rightarrow d\left(H\, ;\, \left(SBC\right)\right)=HK.\] \)
\(\Delta SHC\) vuông tại Hnên \(\frac{1}{SH^{2} } =\frac{1}{HK^{2} } -\frac{1}{HC^{2} } =\frac{3}{a^{2} } -\frac{1}{a^{2} } =\frac{2}{a^{2} } \Rightarrow SH=\frac{a}{\sqrt{2} } .\)

\(\Rightarrow V_{S.ABC} =\frac{1}{3} SH.S_{\Delta ABC} =\frac{1}{3} .\frac{a}{\sqrt{2} } .\frac{a^{2} }{2} =\frac{a^{3} \sqrt{2} }{12} (đvtt).\)