Δ:x−1/2=y−3/4=z/1 và (P):2x−y+2z=0. Viết pt mặt cầu có tâm thuộc Δ, R = 1 và tiếp xúc (P)

Question

Cho\( \Delta :\frac{x-1}{2} =\frac{y-3}{4} =\frac{z}{1} và \left(P\right):2x-y+2z=0. \)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc\( \Delta ,\) bán kính bằng 1 và tiếp xúc với (P)

Answer 1

Gọi \(I\left(1+2t\, ;\, \, 3+4t\, ;\, \, t\right)\in \Delta I\left(1+2t\, ;\, \, 3+4t\, ;\, \, t\right)\in \Delta \) là tâm của mặt cầu cần tìm.

 Ta có \(d\left(I;\left(P\right)\right)=1\Leftrightarrow \frac{\left|2\left(1+2t\right)-\left(3+4t\right)+2t\right|}{3} =1\Leftrightarrow \left|2t-1\right|=3\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=2} \\ {t=-1} \end{array}\right. .\)

 Suy ra \(I\left(5\, ;\, \, 11\, ;\, \, 2\right) hoặc I\left(-1\, ;\, \, -1\, ;\, \, -1\right).\)

 Mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính bằng 1, có phương trình:

\( \left(x-5\right)^{2} +\left(y-11\right)^{2} +\left(z-2\right)^{2} =1  hoặc \left(x+1\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} +\left(z+1\right)^{2} =1.\)