Tính khoảng cách M(2;3;−1) và d là giao tuyến của (P):x+y−2z−1=0và(Q):x+3y+2z+2=0.

Question

Tính khoảng cách \(M\left(2;3;-1\right)\) và d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left(P\right):x+y-2z-1=0 và \left(Q\right):x+3y+2z+2=0.\)

Answer 1

Đường thẳng d có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n_{P} },\overrightarrow{n_{Q} }\right]=\left(8;-4;2\right) \)và đi qua điểm \(M_{0} \left(-\frac{1}{2} ;0;-\frac{3}{4} \right). \)Gọi h là khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d, ta có: \(h=\frac{\left|\left[\overrightarrow{M_{0} M},\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}  \left(1\right).\)

Ta có: \(\overrightarrow{M_{0} M}=\left(\frac{5}{2} ;3;-\frac{1}{4} \right) \)suy ra

\(\left[\overrightarrow{M_{0} M},\overrightarrow{u}\right]=\left(\left|\begin{array}{l} {3\quad -\frac{1}{4} } \\ {-4\quad {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2} \end{array}\right|;\left|\begin{array}{l} {-\frac{1}{4} \quad \; \frac{5}{2} } \\ {\; \; 2\quad {\kern 1pt} {\kern 1pt} \; {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 8} \end{array}\right|;\left|\begin{array}{l} {\frac{5}{2} \quad \; \; {\kern 1pt} \; {\kern 1pt} 3} \\ {8\quad \; {\kern 1pt} {\kern 1pt} -4} \end{array}\right|\right)=\left(5;-7;-34\right) và \left|\left[\overrightarrow{M_{0} M},\overrightarrow{u}\right]\right|=\sqrt{25+49+1156} =\sqrt{1230}  \left(2\right).\)

Mặt khác \(\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{64+16+4} =\sqrt{84}  \left(3\right).\)

Thay \(\left(2\right) và \left(3\right) vào \left(1\right) ta được h=\frac{\sqrt{1230} }{\sqrt{84} } =\sqrt{\frac{205}{14} } .\)