(S):x2+y2+z2−2x−4y−6z=0. Xác định các gđ A,B,C ≠ 0 của (S) với Ox,Oy,Oz từ đó xđ tâm và R của đtr ngtiếp ABC

Question

Cho mặt cầu \( \left(S\right):  x^{2} +y^{2} +z^{2} -2x-4y-6z=0\). Xác định các giao điểm A,  B,  C\(\ne O\)  của (S) với Ox,  Oy,  Oz từ đó xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 

Answer 1

Mặt cầu (S)  có tâm \(I\left(1;  2\_ ;  3\right),\) bán kính \(R=\sqrt{14} .\)

Ta có \(A\left(2; 0; 0\right), B\left(0; 4; 0\right), C\left(0; 0; 6\right).\)

Mặt phẳng (ABC) có phương trình \(\frac{x}{2} +\frac{y}{4} +\frac{z}{6} =1   \Leftrightarrow 6x+3y+2z-12=0. \)
Ta có \(d\left(I,(ABC)\right)=\frac{6}{7} <R.\)

Suy ra (ABC) cắt (S) theo một đường tròn, đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (ABC). Suy ra H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

Đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC)  có phương trình \(\left\{\begin{array}{l} {x=1+6t} \\ {y=2+3t} \\ {z=3+2t} \end{array}\right.  \)
\(H\in d\Rightarrow H\left(1+6t; 2+3t; 3+2t\right), H\in \left(ABC\right)\Rightarrow 6(1+6t)+3\left(2+3t\right)+2\left(3+2t\right)-12=0 \Rightarrow t=\frac{-6}{49} . \)
Suy ra \(H\left(\frac{13}{49} ; \frac{80}{49} ; \frac{135}{49} \right).\)

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là : \(r=\sqrt{14-\frac{36}{49} } =\frac{5\sqrt{26} }{7} .\)