Question

Cho đa giác đều 20 cạnh nội tiếp đường tròn (O). Xác định số hình thang có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đều

Answer 1

Phương pháp giải: Sử dụng tổ hợp.

Giải chi tiết: Gọi d là trục đối xứng của đa giác đều 20 cạnh.

TH1: Xét d đi qua hai đỉnh đối diện của đa giác đều (có 10 đường thẳng d).

Chọn 2 đoạn thẳng trong 9 đoạn thẳng song song hoặc trùng với d thì sẽ tạo thành 1 hình thang hoặc hình chữ nhật có các đỉnh là đỉnh của đa giác.

Nên số hình thang hoặc hình chữ nhật là \(C_9^2\)  (hình)

Vì vai trò các đường thẳng d như nhau nên ta có \(10C^2_9\)  (hình).

TH2: Xét d là đường trung trực của hai cạnh đối diện của đa giác (có 10 đường thẳng d)

Chọn 2 đoạn thẳng trong 10 đoạn thẳng song song với d thì sẽ tạo thành 1 hình thang hoặc hình chữ nhật có các đỉnh là đỉnh của đa giác.

Nên số hình thang hoặc hình chữ nhật là \(C_2^{10}\)  (hình).

Vai trò các đường thẳng d như nhau nên có \(10C^2_{10}\)  (hình).

Mặt khác trong số các hình trên có \(C_{10}^2\)  hình thang (là hình chữ nhật) trùng nhau.

Vậy số hình thang cần tìm là \(10(C_2^9+C_2^{10})-C_2^{10}=765\)  (hình).