Với các số a,b,c∈[1;5] và a+b+c=8 thì giá trị lớn nhất của biểu thức P=(a2+b2+c2)+52(ab+bc+ca)−16982(ab+bc+ca)−33...

Question

Với các số \(a,b,c\in \left[1;5\right]\) và a+b+c=8 thì giá trị lớn nhất của biểu thức 

\(P=\frac{\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)+52\left(ab+bc+ca\right)-1698}{2\left(ab+bc+ca\right)-33}\)  là:

A. \(-\frac{1202}{87}\) .
B. 86.
C. \(-\frac{15590}{87} \).
D. \(\frac{64}{3} .\)

 

Answer 1

Chọn B

Đặt t=ab+bc+ca từ đó ta có:
\(\left\{\begin{array}{l} {t=ab+bc+ca\le \frac{\left(a+b+c\right)^{2} }{3} =\frac{64}{3} } \\ {\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=abc+7-t\ge 0} \\ {\left(a-5\right)\left(b-5\right)\left(c-5\right)=abc+75-5t\le 0} \end{array}\right. \Rightarrow 17\le t\le \frac{64}{3}  \)
\(\Rightarrow P=\frac{\left(64-2t\right)^{2} +52t-1698}{2t-33}  =\frac{4t^{2} -204t+2398}{2t-33} =f\left(t\right).  Xét  f\left(t\right)=\frac{4t^{2} -204t+2398}{2t-33} ,\quad t\in \left[17;\frac{64}{3} \right] \)

\( f'\left(t\right)=\frac{8\left(t-11\right)\left(t-22\right)}{\left(2t-33\right)^{2} } <0,\quad t\in \left[17;\frac{64}{3} \right].\)
Suy ra \(max{\kern 1pt} \, {\rm P}={\mathop{max{\kern 1pt} }\limits_{\left[17;\frac{64}{3} \right]}} f\left(t\right)=f\left(17\right)=86\) đạt được khi và chỉ khi  bộ số \(\left(a\, ;\, b\, ;\, c\right)\) là 1 hoán vị của \(1;\, 2;\, 5\) .