a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua
một điểm I cố định khi \(M,\, N\) thay đổi.
Ta có \(BM\parallel CN \) và CN=2BM.
Suy ra tứ giác BMNC là hình thang có BC và MN
không song song với nhau.
Gọi \(I=BC\cap MN\). Tam giác ICN có \(BM\parallel CN.\)
\( \Rightarrow \frac{IB}{IC} =\frac{BM}{CN} =\frac{1}{2} .\)
Mà \(B,\, C\) cố định nên I cố định và I đối xứng với C qua B.
Vậy MN luôn đi qua điểm I cố định.
b) Chứng minh \(AQ\parallel Bx\) và mặt phẳng \(\left(QMN\right)\) luôn chứa
một đường thẳng cố định khi \(M,\, N\) thay đổi.
* Ta có \(A\in \left(ABM\right)\cap \left(ACN\right)\) và \(BM\parallel CN.\)
Suy ra \(\left(ABM\right)\cap \left(ACN\right)=Az\) với \(Az\parallel BM\parallel CN. \)
\(Q=BE\cap CF\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {Q\in BE\subset \left(ABM\right)} \\ {Q\in CF\subset \left(ACN\right)} \end{array}\right. \)
\( \Rightarrow Q\in \left(ABM\right)\cap \left(ACN\right)\Rightarrow Q\in Az\) hay \(AQ\parallel Bx.\)
*Vì MN luôn đi qua điểm I cố định nên \(\left(QMN\right)\)
chứa điểm I cố định (1)
Ta có \(\Delta EAQ\sim \Delta EMB\Rightarrow \frac{EA}{EM} =\frac{AQ}{MB} =2\)
\(\Rightarrow AQ=2BM.\)
Mặt khác \(AQ\parallel BM\).
Suy ra tứ giác ABMQ là hình thang có AB và QM
không song song với nhau.
Gọi \(L=AB\cap QM.\) Tam giác LAQ có \(BM\parallel AQ.\)
\(\Rightarrow \frac{LB}{LA} =\frac{BM}{AQ} =\frac{1}{2} . \)
Mà \(A,\, B \) cố định nên L cố định và L đối xứng với A qua B.
Suy ra QM luôn đi qua điểm L cố định.
Do đó \(\left(QMN\right)\) chứa điểm L cố định (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(QMN\right)\) chứa đường thẳng IL cố định.
luckyyhappyy07687 
PTG 
tnk11022006452 
minhquanhhqt160 