Chọn D
Theo giả thiết \(36\pi =V=\frac{4}{3} \pi R^{3} \Rightarrow R=3. \)
Ta có \(h=4\, >R=3\Rightarrow IO=h-R=1.\)
Ta có \(r=\sqrt{R^{2} -OI^{2} } =\sqrt{3^{2} -1^{2} } =2\sqrt{2} .\)
Xét tam giác cân ABI có
\(AB^{2} =IA^{2} +IB^{2} -2.IA.IB.{\rm cos}\widehat{AIB}\)
\(=(2\sqrt{2} )^{2} +(2\sqrt{2} )^{2} -2.(2\sqrt{2} ).(2\sqrt{2} ).{\rm cos}120{}^\circ =24 \)
\(\Rightarrow AB=2\sqrt{6} . \)
Gọi J là trung điểm của AB.
Xét tam giác vuông IJA có
\(IJ=\sqrt{IA^{2} -AJ^{2} } =\sqrt{(2\sqrt{2} )^{2} -(\sqrt{6} )^{2} } =\sqrt{2} .\)
Xét tam giác vuông SIJ có
\(SJ=\sqrt{SI^{2} +IJ^{2} } =\sqrt{4^{2} +(\sqrt{2} )^{2} } =3\sqrt{2} \).
Vậy \(S_{\Delta SAB} =\frac{1}{2} .SJ.AB=\frac{1}{2} .3\sqrt{2} .2\sqrt{6} =6\sqrt{3} \).