Cho hàm số bậc bốn y=f(x). Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f'(x). Hàm số g(x)=f(x^2+2x) có bao...

Question

Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left(x\right)\). Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm \(f'\left(x\right)\). Hàm số \(g\left(x\right)=f\left(x^{2} +2x\right)\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 2.

B. 5.

C. 4.

D. 3.

Answer 1

Chọn D

Ta có \(g'\left(x\right)=\left(x^{2} +2x\right)^{{'} } f'\left(x^{2} +2x\right)=\left(2x+2\right)f'\left(x^{2} +2x\right).\)

Suy ra
\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {2x+2=0} \\ {f'\left(x^{2} +2x\right)=0} \end{array}\right. \)

\(\stackrel{{\rm theo\; do\; thi\; }f'\left(x\right)}{\longleftrightarrow}\left[\begin{array}{l} {2x+2=0} \\ {x^{2} +2x=-1} \\ {x^{2} +2x=1} \\ {x^{2} +2x=3} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=-1} \\ {x=-1+\sqrt{2} } \\ {x=-1-\sqrt{2} } \\ {x=\, 1} \\ {x=\, -3} \end{array}\right. . \)
Ta lại có:

\(f'\left(x^{2} +2x\right)>0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {-1<x^{2} +2x<1} \\ {x^{2} +2x>3} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x^{2} +2x-1<0} \\ {x^{2} +2x+1>0} \\ {x^{2} +2x-3>0} \end{array}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {-1-\sqrt{2} <x<-1+\sqrt{2} } \\ {x\ne -1} \\ {x>1} \\ {x<-3} \end{array}\right.  \)
Bảng xét dấu của \(y'=\left(2x+2\right)f'\left(x^{2} +2x\right)\).

Từ đó suy ra hàm số \(g\left(x\right)=f\left(x^{2} +2x\right)\) có 3 điểm cực tiểu.