Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị như hình vẽ...

Question

Cho hàm số bậc ba \(y=f\left(x\right)\) có đồ thị như hình vẽ.

Tìm số cực trị của hàm số \(g\left(x\right)=\left|f\left(x^{2} +2{\rm x}\right)\right|\)

A. 5.

B. 8.

C. 6.

D. 7.

Answer 1

Chọn D

Số cực trị của hàm số \(y=g\left(x\right)\) bằng số nghiệm phương trình

\(f\left(x^{2} +2{\rm x}\right)=0\) (*) cộng với số cực trị (khác các nghiệm ở (*))

của hàm số \(y=f\left(x^{2} +2{\rm x}\right).\)

Từ đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)\) ta có
\(f\left(x^{2} +2{\rm x}\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x^{2} +2{\rm x=0}} \\ {x^{2} +2{\rm x=a}\in \left(-2;-1\right)} \\ {x^{2} +2{\rm x=b}\in \left(1;2\right)} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=-2\, \vee x=0} \\ {x\in \emptyset } \\ {x=x_{1} \vee x=x_{2} } \end{array}\right.  \)
Mặt khác \(\left(f\left(x^{2} +2{\rm x}\right)\right)^{{'} } =2\left(x+1\right).f'\left(x^{2} +2{\rm x}\right)\)

Nên \(\left(f\left(x^{2} +2{\rm x}\right)\right)^{{'} } =0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=-1} \\ {f'\left(x^{2} +2{\rm x}\right)=0\, \, } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=-1} \\ {x^{2} +2{\rm x=}-{\rm 1}\, \, \, \left(1\right)} \\ {x^{2} +2{\rm x=}1\, \, \, \, \, \, \, \, \left(2\right)} \end{array}\right. \, \)

Phương trình\((1)\) có nghiệm kép \(x=-1, \)

phương trình \((2)\) có hai nghiệm \(x=-1\pm \sqrt{2}\)  

nên phương trình \(\left(f\left(x^{2} +2{\rm x}\right)\right)^{{'} } =0\) có \(x=-1\)

là nghiệm bội ba và hai nghiệm đơn \(x=-1\pm \sqrt{2} .\)

Vậy phương trình \(\left(f\left(x^{2} +2{\rm x}\right)\right)^{{'} } =0\) có ba nghiệm bội lẻ

nên hàm số \(y=f\left(x^{2} +2{\rm x}\right)\)

có ba cực trị là \(-1\) và \(-1\pm \sqrt{2}\)  khác 4 nghiệm của phương trình (*).

Vậy hàm số \(y=g\left(x\right)\) có 7 cực trị là \(-1,0,-2,x_{1} ,x_{2} \) và

\(-1\pm \sqrt{2} .\)