Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại ∀x∈R, hàm số f'(x)=x^3+ax^2+bx+c có bảng biến thiên như hình...

Question

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại \(\forall x\in {\rm R}\), hàm số \(f'(x)=x^{3} +ax^{2} +bx+c\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây, giao điểm của đồ thị hàm số f'(x) với Ox là \(O\left(0;0\right);\, A\left(-1;0\right);\, B\left(1;0\right)\)

Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left[f'\left(x\right)\right]\) là

A. 7.

B. 11.

C. 9.

D. 8.

Answer 1

Từ giả thiết, có đồ thị hàm số \(f'(x)=x^{3} +ax^{2} +bx+c\)

đi qua các điểm \(O\left(0;0\right);\, A\left(-1;0\right);\, B\left(1;0\right).\)

Khi đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{array}{l} {c=0} \\ {a+b=-1} \\ {a-b=1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=0} \\ {b=-1} \\ {c=0} \end{array}\right. .\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=x^{3} -x\Rightarrow f''\left(x\right)=3x^{2} -1 \)
Đặt: \(g\left(x\right)=f\left(f'\left(x\right)\right)\)

Ta có:

\(g'\left(x\right)=\left(f\left[f'\left(x\right)\right]\right)^{{'} } =f'\, \left[f'\left(x\right)\right].f''\left(x\right)\)

\(=\left[\left(x^{3} -x\right)^{3} -\left(x^{3} -x\right)\right]\left(3x^{2} -1\right)\)
\(=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{3} -x-1\right)\left(x^{3} -x+1\right)\left(3x^{2} -1\right) \)
\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=1} \\ {x=-1} \\ {x^{3} -x-1=0} \\ {x^{3} -x+1=0} \\ {3x^{2} -1=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=1} \\ {x=-1} \\ {x=a\, (\approx 1,32)} \\ {x=b\, \left(b\approx -1,32\right)\, } \\ {x=\pm \frac{1}{\sqrt{3} } } \end{array}\right.  \)
Ta có bảng biến thiên:

* Cách xét dấu \(g'\left(x\right)\): chọn \(x=2\in \left(a;+\infty \right)\)

ta có: \(g'\left(2\right)>0\Rightarrow g'\left(x\right)>0\forall x\in \left(a;+\infty \right)\),

từ đó suy ra dấu của \(g'\left(x\right)\) trên các khoảng còn lại.

Dựa vào BBT suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.