Question

Cho tập M gồm 2002 số nguyên dương, mỗi số chỉ có ước nguyên tố không vượt quá 23. Chứng minh rằng tồn tại 4 số phân biệt trong M có tích là lũy thừa bậc 4 của một số nguyên.

Answer 1

Có \(9\) số nguyên tố không vượt quá \(23\) là

\(p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7,p_5=11,p_6=13,p_7=17,p_8=19,p_9=23.\)

Viết các số đã cho dưới dạng 

\(A=a . p_1^{ \alpha_1 }.p_2^{ \alpha_2 }...p_9^{ \alpha_9 }\)

trong đó \(a \in \mathbb{N}; \ a_i \in \{0;1\}.\)

Do đó bộ số phân biệt \((x_1,x_2,...,x_9) \in \{0;1\}^9\) là \(2^9=512\) nên nếu xét \(513\) phần tử thuộc \(M\) thì theo nguyên lí Dirichle, tồn tại hai bộ \((\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_9)\) trùng nhau. Tương ứng với hai bộ đó ta được hai số trong \(M\) có tích là số chính phương. Giả sử hai số đó là \(a_1\) và \(b_1\) và xét \(513\) phần tử của \(M\) trong số còn lại ta suy ra có hai phần tử  \(a_2,b_2\) có tích là số chính phương. Tiếp tục quá trình trên ta nhận được 513 cặp \((a_1,b_1),(a_2,b_2),...(a_{513},b_{513})\) mà mỗi cặp có tích hai phần tử là một số chính phương. Bây giờ ta đặt

\(a_1.b_1=c_1^2, \ a_2.b_2=c^2_2, \ ... \ , a_{513}.b_{513}=c_{513}^2\)

và xét \(513\) số \(c_1,c_2,...,c_{513}.\) Vì các \(c_i\) cũng chỉ có ước nguyên tố không vượt quá \(23\) nên ta suy ra có hai số \(c_m,c_n\) có tích là số chính phương. Khi đó 4 số \(a_m,b_m,a_n,b_n\) có tích là lũy thừa bậc 4 của một số nguyên.