​Cho hai số phức z,w thỏa mãn |z−i|=2 và w=z−1+i/z−2−i. Tìm giá trị nhỏ nhất của |w|. ​

Question

Cho hai số phức z,w thỏa mãn \(\left|z-i\right|=2 và w=\frac{z-1+i}{z-2-i}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left|w\right|.\)

A. 4.

B. \(\frac{7}{3} a.\)

C. \(\frac{\sqrt{5} }{20} .\)

D. \(\frac{a\sqrt{7} }{2} .\)

Answer 1

Chọn CTa có: 
\(w=\frac{z-1+i}{z-2-i} \Leftrightarrow wz-2w-wi=z-1+i\Leftrightarrow z\left(w-1\right)=2w+wi-1+i \Leftrightarrow \)

\(z=\frac{2w+wi-1+i}{w-1} \Leftrightarrow z-i=\frac{2w+wi-1+i}{w-1} -i\Leftrightarrow z-i=\frac{2w-1+2i}{w-1} \Leftrightarrow \left|z-i\right|=\frac{\left|2w-1+2i\right|}{\left|w-1\right|} \Leftrightarrow 2\left|w-1\right|=\left|2w-1+2i\right|\, \, \left(1\right)\)
Đặt \(w=x+yi\, \left(x,y\in {\rm R},\, \, i^{2} =-1\right), \)ta có:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow 2\left|x+yi-1\right|=\left|2x+2yi-1+2i\right|\Leftrightarrow 2\sqrt{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} } =\sqrt{\left(2x-1\right)^{2} +\left(2y+2\right)^{2} } \)
\(\Leftrightarrow 4x^{2} -8x+4+4y^{2} =4x^{2} -4x+1+4y^{2} +8y+4\Leftrightarrow 4x+8y+1=0.\)
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng d có phương trình 4x+8y+1=0.

Vậy \(\left|w\right|_{\min } =d\left(O,d\right)=\frac{1}{\sqrt{4^{2} +8^{2} } } =\frac{\sqrt{5} }{20} .\)