Cho f(x) liên tục trên R, có đạo hàm f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số y=f(x)+x^2/2−x có min trên [0;1] là ​

Question

Cho f(x) là hàm số liên tục trên R, có đạo hàm f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số \(y=f\left(x\right)+\frac{x^{2} }{2} -x\) có giá trị nhỏ nhất trên [0;1] là

\(A. f\left(0\right). \)

\(B. f\left(1\right)+\frac{1}{2} .\)

\(C. f\left(1\right)-\frac{1}{2} .\)

\(D. f\left(\frac{1}{2} \right)-\frac{3}{8} .\)
 

Answer 1

Chọn C

Đặt \(h\left(x\right)=f\left(x\right)+\frac{x^{2} }{2} -x. \)Ta có \(h'\left(x\right)=f'\left(x\right)+x-1\)

\(h'\left(x\right)=0\Leftrightarrow f'\left(x\right)=-x+1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} {x=x_{1} \, \, \, (x_{1} <0)} \\ {x=0} \\ {x=x_{2} \, \, (0<x_{2} <1)} \\ {x=1} \end{array}\right. \) (hình vẽ)

Ta có bảng biến thiên trên \(\left[0;1\right] của h\left(x\right): \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(h\left(x\right)\) trên\( \left[0;1\right] \)là \(h\left(1\right)\) hoặc \(h\left(2\right)\)

Mặt khác, dựa vào hình ta có:
\(\begin{array}{l} {\int _{0}^{x_{2} }\left[f'\left(x\right)+x-1\right]dx<\int _{x_{2} }^{1}-\left[f'\left(x\right)+x-1\right]  dx} \\ {\Rightarrow \int _{0}^{x_{2} }h'\left(x\right)dx<\int _{x_{2} }^{1}-h'\left(x\right)  dx} \\ {\Rightarrow h\left(x_{2} \right)-h\left(0\right)<h\left(x_{2} \right)-h\left(1\right)} \\ {\Leftrightarrow h\left(1\right)<h\left(0\right)} \end{array}\)

Vậy giá tị nhỏ nhất của h(x) trên [0;1] là \(h\left(1\right)=f\left(1\right)-\frac{1}{2} .\)