​Cho f(x) bậc ba, f'(x) có đồ thị như sau. Tìm các giá trị thực của m để f(e^x+1)−x−m=0 có 2 nghiệm thực pb

Question

Cho f(x) là hàm số bậc ba. Hàm số f'(x) có đồ thị như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left(e^{x} +1\right)-x-m=0\) có hai nghiệm thực phân biệt.

\(A. m>f\left(2\right).\)
\(B. m>f\left(2\right)-1. \)

\(C. m<f\left(1\right)-\ln 2.\)

\(D. m>f\left(1\right)+\ln 2.\)
 

Answer 1

Chọn A

Ta có: \(f\left(e^{x} +1\right)-x-m=0\Leftrightarrow f\left(e^{x} +1\right)-x=m\, \, \left(1\right).\)

Đặt \(t=e^{x} +1\Rightarrow t'=e^{x} >0,\forall x\in {\rm R}. \)Ta có bảng biến thiên:

Với \(t=e^{x} +1\Rightarrow x=\ln \left(t-1\right).\) Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow f\left(t\right)-\ln \left(t-1\right)=m\, \, \left(2\right).\)

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1.

Xét hàm số \(g\left(t\right)=f\left(t\right)-\ln \left(t-1\right),\forall t>1\) ta có:
\(g'\left(t\right)=f'\left(t\right)-\frac{1}{t-1} ,\, \, g'\left(t\right)=0\Leftrightarrow f'\left(t\right)=\frac{1}{t-1} .\)

Dựa vào đồ thị các hàm số \(y=f'\left(x\right) và y=\frac{1}{x-1}  ta có:  f'\left(t\right)=\frac{1}{t-1} \Leftrightarrow t=2.\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left(t\right):\)

Số nghiệm của phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(g\left(t\right)\) và đường thẳng y=m.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1
\(\Leftrightarrow m>g\left(2\right)\Leftrightarrow m>f\left(2\right)-\ln 1\Leftrightarrow m>f\left(2\right).\)