​Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z+i|+|z−i|=4 và (z+i)z¯ là số thực? ​

Question

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left|z+i\right|+\left|z-i\right|=4 và \left(z+i\right)\overline{z}\) là số thực? 

A. 1.

B. 2

 C. 0 

D. 4
 

Answer 1

Chọn B 

Gọi z=x+yi với x,y\in {\rm R}

Ta có \left(z+i\right)\overline{z}=z.\overline{z}+i\overline{z}=x^{2} +y^{2} +y+xi\in {\rm R}\Rightarrow x=0

Mà \(\left|z+i\right|+\left|z-i\right|=4\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +\sqrt{x^{2} +\left(y-1\right)^{2} } =4\Leftrightarrow \left|y+1\right|+\left|y-1\right|=4\, \, \eqref{GrindEQ__2_} (do x=0).\)

TH 1: Nếu \(y\ge 1 thì \left(2\right)\Leftrightarrow 2y=4\Leftrightarrow y=2\Rightarrow z=2i\)

TH 2: Nếu \(-1<y<1 thì \left(2\right)\Leftrightarrow y+1+1-y=4 \)vô nghiệm.

TH 3: Nếu \(y\le -1 thì \left(2\right)\Leftrightarrow -y-1+1-y=4\Leftrightarrow y=-2\Rightarrow z=-2i\)

Vậy có 2 số phức thoả yêu cầu bài toán.