Hàm số g(x)=∣∣f(x2)−x2∣∣ có bao nhiêu điểm cực trị? ​

Question

Cho hàm số y=f(x) là hàm số bậc bốn thỏa mãn f(0)=0. Hàm số y=f'(x) có bảng biến thiên như sau:

 Hàm số \(g\left(x\right)=\left|f\left(x^{2} \right)-x^{2} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 3

C. 5

D. 7
 

Answer 1

Chọn C

Đặt \(h\left(x\right)=f\left(x^{2} \right)-x^{2} \Rightarrow h\left(0\right)=0.\)

Ta có \(h'\left(x\right)=2xf'\left(x^{2} \right)-2x=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {f'\left(x^{2} \right)=1} \end{array}\right. \) 

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số t=f'(x) ta có phương trình f'(x)=1 có duy nhất một nghiệm và nghiệm đó dương. Gọi x0 là nghiệm của phương trình f'(x)=1

Suy ra \(f'\left(x^{2} \right)=1\Leftrightarrow x^{2} =x_{0} \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{x_{0} } \)

Ta có  \(y=f\left(x\right)=ax^{4} +bx^{3} +cx^{2} +dx+e\Rightarrow f'\left(x\right)=4ax^{3} +3bx^{2} +2cx+d\)
\({\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} f'\left(x\right)=+\infty \Rightarrow a>0.\)
Khi đó \(h\left(x\right)=f\left(x^{2} \right)-x^{2}\)  là hàm bậc 8 và \({\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} h\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} h\left(x\right)=+\infty \)

Lập bảng biến thiên của h(x)  ta có

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số \(g\left(x\right)=\left|h\left(x\right)\right|  \)có 5 điểm cực trị.