Hàm số g(x)=∣∣2f(x2+x)−x4−2x3+x2+2x∣∣ có bao nhiêu điểm cực trị? ​

Question

Cho f(x) là hàm bậc bốn thỏa mãn f(0)=0. Hàm số f'(x) có đồ thị như hình vẽ 

Hàm số \(g\left(x\right)=\left|2f\left(x^{2} +x\right)-x^{4} -2x^{3} +x^{2} +2x\right| \)có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7
 

Answer 1

Chọn D

Gọi \(h\left(x\right)=2f\left(x^{2} +x\right)-x^{4} -2x^{3} +x^{2} +2x=2f\left(x^{2} +x\right)-\left(x^{2} +x\right)^{2} +2\left(x^{2} +x\right)\)
\(\Rightarrow h'\left(x\right)=2\left(2x+1\right)f'\left(x^{2} +x\right)-2\left(2x+1\right)\left(x^{2} +x\right)+2\left(2x+1\right).\)
\(\Rightarrow h'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {2x+1=0} \\ {f'\left(x^{2} +x\right)-\left(x^{2} +x\right)+1=0\qquad \left(*\right)} \end{array}\right. \)
Đặt \(t=x^{2} +x. \)Khi đó phương trình (*) trở thành \(f'\left(t\right)-t+1=0\)
\(\Leftrightarrow f'\left(t\right)=t-1\)

.Ta vẽ đồ thị hai hàm số y=f'(x) và y=t-1 trên cùng một hệ trục tọa độ 

Dựa vào đồ thị ta thấy \(f'\left(t\right)>t-1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {-2<t<0} \\ {t>2} \end{array}\right. \)

Khi đó: \(\left[\begin{array}{l} {-2<x^{2} +x<0} \\ {{\rm \; \; \; }x^{2} +x>2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {-1<x<0} \\ {x<-2\vee 1<x} \end{array}\right. \)

Bảng biến thiên :

Vậy hàm số \(g\left(x\right)=\left|h\left(x\right)\right|\) có 7 điểm cực trị.