Cho f(x) là hàm bậc bốn có f(0)=0. Hàm số g(x)=∣∣f(x^33)−x^3−x∣∣ có bao nhiêu điểm cực trị ? ​

Question

Cho f(x) là hàm bậc bốn thỏa mãn f(0)=0. Hàm số f'(x) đồ thị như sau: 

Hàm số \(g\left(x\right)=\left|f\left(x^{3} \right)-x^{3} -x\right| \)có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.
 

Answer 1

Chọn A

Do f(x) là hàm bậc bốn và từ đồ thị của f'(x) ta có: f'(x) bậc ba có 2 điểm cực trị là -1;1 nên \(f''\left(x\right)=a\left(x^{2} -1\right).\)

Suy ra \(f'\left(x\right)=a\left(\frac{x^{3} }{3} -x\right)+b.\)

 Do \(f'\left(0\right)=-3 và f'\left(-1\right)=-1 \)nên \(\left\{\begin{array}{l} {b=-3} \\ {a\left(-\frac{1}{3} +1\right)+b=-1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=3} \\ {b=-3} \end{array}\right. .\)

Suy ra \(f'\left(x\right)=3\left(\frac{x^{3} }{3} -x\right)-3\)

Xét hàm số \(h\left(x\right)=f\left(x^{3} \right)-x^{3} -x,\)  \(h'\left(x\right)=3x^{2} f'\left(x^{3} \right)-3x^{2} -1.\)
\(h'\left(x\right)=0\Leftrightarrow f'\left(x^{3} \right)=\frac{3x^{2} +1}{3x^{2} } . \left(1\right)\)
Bảng biến thiên của \(f'\left(x\right)\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có 

+ Với \(x\in \left(-\infty ;0\right): f'\left(x\right)<0\, \Rightarrow f'\left(x^{3} \right)<0\,\) , mà \(\frac{3x^{2} +1}{3x^{2} } >0\,\)  suy ra \(\left(1\right) \)vô nghiệm trên\( \left(-\infty ;0\right).  \)

+ Trên \(\left(0;+\infty \right): f'\left(x\right)\in \left(-3;+\infty \right)\Rightarrow f'\left(x^{3} \right)\in \left(-3;+\infty \right) \) đồng biến suy ra \(f'\left(x^{3} \right)\) đồng biến mà hàm số y=\frac{3x^{2} +1}{3x^{2} }  nghịch biến nên phương trình \left(1\right) có không quá 1 nghiệm. Mặt khác, hàm số \(y=f'\left(x^{3} \right)-\frac{3x^{2} +1}{3x^{2} }  \) liên tục trên \(\left(0;+\infty \right) \)và \({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \left[f'\left(x^{3} \right)-\frac{3x^{2} +1}{3x^{2} } \right]=-\infty ; {\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \left[f'\left(x^{3} \right)-\frac{3x^{2} +1}{3x^{2} } \right]=+\infty \)

Nên (1) có đúng 1 nghiệm \(x=x_{0} >0. \)

Bảng biến thiên của \(h\left(x\right): \)

Từ đó ta có \(h\left(x_{0} \right)<0 \)nên phương trình \(h\left(x\right)=0 \)có hai nghiệm thực phân biệt. Mặt khác \( g\left(x\right)=\left|h\left(x\right)\right|=\left\{\begin{array}{l} {h\left(x\right)\, \, {\rm khi\; }h\left(x\right)\ge 0} \\ {-h\left(x\right)\, \, {\rm khi\; }h\left(x\right)<0} \end{array}\right. . \)

Từ đó hàm số \( g\left(x\right) \)có 3 điểm cực trị.