y=f(x)=∣∣x2−5x+4∣∣+mx. Tính số các phần tử của tập hợp S.

Question

Cho \(y=f\left(x\right)=\left|x^{2} -5x+4\right|+mx\). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) lớn hơn 1. Tính số các phần tử của tập hợp S. 

A.6 .

B.7.

C.8.

D.5.  
 

Answer 1

Ta có \(y=f\left(x\right)=\left|x^{2} -5x+4\right|+mx=\left\{\begin{array}{l} {x^{2} +\left(m-5\right)x+4;\, \, \, x\in \left(-\infty ;1\right]\cup \left[4;+\infty \right)} \\ {-x^{2} +\left(m+5\right)x-4;\, \, \, x\in \left(1;4\right)} \end{array}\right. \)

Trường hợp 1:\(x\in \left(-\infty ;1\right]\cup \left[4;+\infty \right)\)

\(y=f\left(x\right)=\left|x^{2} -5x+4\right|+mx=x^{2} +\left(m-5\right)x+4. \)Đồ thị hàm số là Parabol với bề lõm hướng lên trên, tung độ của đỉnh Parabol là giá trị nhỏ nhất.

Ta có đỉnh Parabol \(I\left(\frac{5-m}{2} ;-\frac{m^{2} -10m+9}{4} \right) \)

+ Nếu hoành độ của đỉnh:\( \frac{5-m}{2} \in \left(1;4\right)\Leftrightarrow m\in \left(-3;3\right), \)khi đó để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) lớn hơn 1 thì tung độ của đỉnh lớn hơn hoặc bằng 1, tức là 
\(-\frac{m^{2} -10m+9}{4} \ge 1\Leftrightarrow 5-2\sqrt{3} \le m\le 5+2\sqrt{3} ,\)
kết hợp điều kiện \(m\in \left(-3;3\right) \)thì m=2.

+ Nếu hoành độ của đỉnh: \(\frac{5-m}{2} \in \left(-\infty ;1\right]\cup \left[4;+\infty \right)\Leftrightarrow m\in \left(-\infty ;-3\right]\cup \left[3;+\infty \right),\) khi đó để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) lớn hơn 1 thì tung độ của đỉnh phải lớn hơn 1, tức là 
\(-\frac{m^{2} -10m+9}{4} >1\Leftrightarrow 5-2\sqrt{3} <m<5+2\sqrt{3} ,\)
kết hợp điều kiện \(m\in \left(-\infty ;-3\right]\cup \left[3;+\infty \right)\) thì m=3;4;5;6;7;8.

Trường hợp 2: \(x\in \left(1;4\right)\)

\(y=f\left(x\right)=\left|x^{2} -5x+4\right|+mx=-x^{2} +\left(m+5\right)x-4.\) Đồ thị hàm số là Parabol với bề lõm hướng xuống dưới, tung độ của đỉnh Parabol là giá trị lớn nhất. Nhưng do\( x\in \left(1;4\right)\)nên trong trường hợp này hàm số không có giá trị nhỏ nhất (chỉ có giá trị lớn nhất).

Vậy m=2;3;4;5;6;7;8 . Có 7 giá trị của m thỏa mãn hay tập S có 7 phần tử.

Cách khác:

Để\( \left|x^{2} -5x+4\right|+mx>1\, \, \, \, \forall x\in {\rm R}\, \, \, \, \Leftrightarrow \, mx>1-\left|x^{2} -5x+4\right|\, \, \, \forall x\in {\rm R}.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m>\, Max\, \frac{1-\left|x^{2} -5x+4\right|}{x} ;\, x>0} \\ {m<Min\frac{1-\left|x^{2} -5x+4\right|}{x} ;\, x<0} \end{array}\right.  . (*)\)
Xét hàm \(f(x)=\frac{1-\left|x^{2} -5x+4\right|}{x} =\left[\begin{array}{l} {\frac{-x^{2} +5x-3}{x} =-x-\frac{3}{x} +5;\, x\in (-\infty ;0)\cup (0;1)\cup (4;+\infty ).(**)} \\ {x+\frac{5}{x} -5\, ;\, x\in \left[1;4\right].(***)} \end{array}\right. \)

Với điều kiện\( (**)f'\left(x\right)=-1+\frac{3}{x^{2} } =0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} {x=\sqrt{3} \left(l\right)} \\ {x=-\sqrt{3} \left(n\right)} \end{array}\right. \)

 Với điều kiện \((***)f'\left(x\right)=1-\frac{5}{x^{2} } =0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} {x=\sqrt{5} \left(n\right)} \\ {x=-\sqrt{5} \left(l\right)} \end{array}\right. \)

Ta có bảng biến thiên như sau

Vậy theo \((*)  \Rightarrow \, 1<m<5+2\sqrt{3\, } \, \, \Rightarrow\)  Có 7 giá trị nguyên.