y=∣∣x2−3x+2∣∣+mx. Hỏi giá trị nhỏ nhất của hàm số có giá trị lớn nhất là ?

Question

Cho hàm số \(y=\left|x^{2} -3x+2\right|+mx\) ( với m là tham số thực ). Hỏi giá trị nhỏ nhất của hàm số có giá trị lớn nhất là ?

A. 1. B. 3.

C. -2. D. 2.
 

Answer 1

Chọn D

Viết lại hàm số: \(y=\left|x^{2} -3x+2\right|+mx\)
\(\[\Leftrightarrow y=\left\{\begin{array}{l} {x^{2} -\left(3-m\right)x+2\, \, \, khi\, x\in \left(-\infty \, ;\, 1\right)\cup \left(2\, ;+\infty \right)} \\ {-x^{2} +\left(3+m\right)x-2\, \, \, khi\, x\in \left[1\, ;\, 2\right]} \end{array}\right. .\] \)

 Đồ thị hàm số đã cho là hợp của 2 phần đồ thị:

Phần đồ thị của hàm số: \(y=x^{2} -\left(3-m\right)x+2\, \)trên 2 khoảng\( \left(-\infty \, ;\, 1\right)\cup \left(2\, ;+\infty \right)\) có tọa độ đỉnh \(I\left(\frac{3-m}{2} \, ;\, 2-\frac{\left(3-m\right)^{2} }{4} \right).\)

Phần đồ thị của hàm số:\( y=-x^{2} +\left(3+m\right)x-2    \) trên đoạn \(x\in \left[1\, ;\, 2\right]\)

 TH1: \(1\le \frac{3-m}{2} \le 2\Leftrightarrow -1\le m\le 1.\) Đồ thị hàm số có dạng

 Khi đó \(\min \, y=\min \, \left\{y\left(1\right)\, ,\, y\left(2\right)\right\}=\min \, \left\{m\, ,\, 2m\right\}\le 2.\)

 TH2: m<-1 hoặc m>1. Đồ thị hàm số có dạng

     

 hoặc                

 Khi đó \(\min y=y\left(\frac{3-m}{2} \right)=2-\frac{\left(3-m\right)^{2} }{4} \le 2.\)

 Dấu `` = '' xảy ra khi m=3 (TM). 

 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số có giá trị lớn nhất là 2 khi m=3.