​Cho tam giác ABC cân tại A, góc C của tam giác ABC bằng . ​30∘vàBC=a3–√

Question

 Cho tam giác ABC cân tại A, góc C của tam giác ABC bằng \(30{}^\circ  và BC=a\sqrt{3} \).  Gọi D là điểm xác định bởi \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}. \)

Hãy tìm các số m và n sao cho \(\overrightarrow{BD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}. \)

Tính theo a tích vô hướng của hai vectơ\( \overrightarrow{AC} và \overrightarrow{BD}. \)
 

Answer 1

\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\). Vậy m=-2,n=1. 

Gọi H là trung điểm BC, ta có: \(\cos \widehat{ACH}=\frac{HC}{AC} \Rightarrow AC=\frac{HC}{\cos 30{}^\circ } =a. \)
 

 Do đó: \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\left(-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}^{2} =-2a^{2} \cos 120{}^\circ +a^{2} =2a^{2}\) .