Viết pt mặt cầu (S) tâm J(1;0;3), cắt Δ:x−1/2=y+1/1=z−1/2 tại A,B sao cho JAB vuông.

Question

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm J(1;0;3) và cắt đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{2} =\frac{y+1}{1} =\frac{z-1}{2}\)  tại hai điểm A, B sao cho tam giác JAB là tam giác vuông. 
 

Answer 1

Đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{2} =\frac{y+1}{1} =\frac{z-1}{2}\)  đi qua \(M\left(1;-1;1\right)\) và có VTCP \(\overrightarrow{u}\left(2;1;2\right).\)

Do đó: \(\overrightarrow{JM}\left(0;-1;-2\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{JM}\right]=\left(0;4;-2\right), suy ra JH=d\left(J,\Delta \right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{JM}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|} =\frac{2\sqrt{5} }{3} . \)

\(\Delta JAB\) vuông có JA=JB=R nên\( \Delta JAB\) vuông cân tại \(J\Rightarrow \widehat{JBA}=45{}^\circ .\)

Khi đó tam giác JBH là tam giác vuông cân tại H.
\(\Rightarrow JB=JH\sqrt{2} \Leftrightarrow R=\sqrt{2} .d(J,\Delta )\Leftrightarrow R=\frac{2\sqrt{10} }{3} .\) 
Phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: \((x-1)^{2} +y^{2} +\left(z-3\right)^{2} =\frac{40}{9} .\)